Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

bart_kl

1/3 = 0,333... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 3's)

3 * 1/3 = 1

3 * 0,333... = 0,999.... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 9's)

Hieruit volgt:

0,999... = 1

Eerst wil ik even kwijt dat ik het feit dat 1/3 = 0,333... even merkwaardig vind als het feit dat 0,999... = 1.

Als het eerste waar is, verbaast het tweede me niet. Maar dat is het hem nu juist. Kan iemand me misschien heel duidelijk uitleggen waarom een oneindig aantal 3's achter de komma gelijk is aan 1/3?

Is het zo dat dit niet voorstelbaar is omdat 'oneindig' geen getal is en dus niet vatbaar is voor ons brein?

Elmo

bart_kl schreef:1/3 = 0,333... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 3's)

3 * 1/3 = 1

3 * 0,333... = 0,999.... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 9's)

Hieruit volgt:

0,999... = 1

Zo moet je het niet zien!

0.999... (oneindig veel negens) moet gelijk zijn (*) aan 1 in ons getallenstelsel. Dat betekent dus we voor 1 overal 0.999... mogen schrijven. Als je nu wil weten van de decimale ontwikkeling van 1/3 is, dan is deze dus gelijk aan 0.999.../3 = 0.333...

(*) Dit moet zo zijn. Schets van het bewijs: Stel dat er een getal zit tussen 0.999.... en 1. Dan kan ik een y=(1+0.999...)/2 vinden welke voldoet aan 0.999... < y < 1. Dit is in strijd met de oorspronkelijke aanname dat 0.999... het getal is dat het het dichtste bij 1 zit. Dus moeten we aannemen dat het getal y niet bestaat en dus dat 0.999... = 1.

Bio

Ik ben absoluut geen wiskundige, integendeel...

Maar ik heb ooit iets gehoord over een wiskundige theorie, die bewees dat 1+1 nooit 2 kon zijn of zo? Heeft dat hiermee te maken???

Elmo

Bio schreef:Ik ben absoluut geen wiskundige, integendeel...

Maar ik heb ooit iets gehoord over een wiskundige theorie, die bewees dat 1+1 nooit 2 kon zijn of zo? Heeft dat hiermee te maken???

Ieeeks! Als we op die toer gaan, dan gaan we hier verder...

bart_kl

suyver schreef:
bart_kl schreef:1/3 = 0,333... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 3's)

3 * 1/3 = 1

3 * 0,333... = 0,999.... (deze reeks repeteert door tot een oneindig aantal 9's)

Hieruit volgt:

0,999... = 1
Zo moet je het niet zien!

0.999... (oneindig veel negens) moet gelijk zijn (*) aan 1 in ons getallenstelsel. Dat betekent dus we voor 1 overal 0.999... mogen schrijven. Als je nu wil weten van de decimale ontwikkeling van 1/3 is, dan is deze dus gelijk aan 0.999.../3 = 0.333...

(*) Dit moet zo zijn. Schets van het bewijs: Stel dat er een getal zit tussen 0.999.... en 1. Dan kan ik een y=(1+0.999...)/2 vinden welke voldoet aan 0.999... < y < 1. Dit is in strijd met de oorspronkelijke aanname dat 0.999... het getal is dat het het dichtste bij 1 zit. Dus moeten we aannemen dat het getal y niet bestaat en dus dat 0.999... = 1.

Bedankt! Dit is precies wat ik zocht, dat bewijs dat je gaf.

Toch blijft het raar. Het bewijsje gaat er van uit dat het dichtstbijzijnde getal van 1, gelijk is aan 1. Of zie ik dat verkeerd?

Ik bedoel: 0,999... is het dichste getal bij 1, dus 0,999... = 1

Of verdraai ik de conclusie nu?

Ik snap het verder wel hoor, het blijft alleen moeilijk om te beseffen

K

Elmo

Nee, het bewijs gebruikt dat er geen verschil is tussen 0.999... en 1. Immers, het nieuwe getal dat ik creeerde, y=(0.999...+1)/2 moet hieraan voldoen: y>= 0.999..., y<=1. En omdat er geen getal tussen 0.999... en 1 zit, moeten ze dus hetzelfde getal zijn! 0.999... en 1 zijn alleen maar twee verschillende manieren om het zelfde te noteren.

Leuk linkje: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html

bart_kl

Dit bewijs (van jouw link, dat ik toevallig ooit eerder heb gezien maar weer vergeten blijk te zijn) doet het belletje rinkelen

:

x = 0.999...

10x = 9.999...

9x = 10x - x = 9.999... - 0.999... = 9

x = 1

Hartelijk bedankt!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Re: Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Re: Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Re: Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Re: Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Re: Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs

Re: Repeterende decimalen en breuken en een bekend bewijs