homogene functie

Anonymous

ik snap niet bepaald het begrip Homogene Functie van graad k (bij functie in meerdere variabelen) ..

men zegt dat:

f(x1,x2) = x1^2 + x2^2 een homgene functie is van graad 2 ..

en dat

f(x1,x2) = x1^3 + x2 geen homogene functie is ..

kan iemand me hier helpen dit duidelijker te maken? Want daarna geven nog eens de stelling van euler ivm homogene functie van graad k ..snap ik dat ook niet

Anonymous

ij de eerste funtie hebben x1 en x2 dezelfde macht. x1²en x2²

bij de tweede ..verschillende machten

willemjan

Anonymous schreef:ik snap niet bepaald het begrip Homogene Functie van graad k (bij functie in meerdere variabelen) ..

men zegt dat:

f(x1,x2) = x1^2 + x2^2 een homgene functie is van graad 2 ..

en dat

f(x1,x2) = x1^3 + x2 geen homogene functie is ..

kan iemand me hier helpen dit duidelijker te maken? Want daarna geven nog eens de stelling van euler ivm homogene functie van graad k ..snap ik dat ook niet

Aangezien je het in je voorbeeld hebt over een functie met twee variabelen hou ik dat maar even aan. Maar hetgeen ik nu schrijf geldt ook voor functies met één variabele of drie of meer variabelen:

Een functie is homogeen als hij aan de volgende voorwaarde voldoet:

f(tx1, tx2) = t^k*f(x1, x2)

(x1, x2) zijn getallen, die je in je functie invoert [Om het helemaal juist te zeggen, moeten dit reële getallen zijn]

t is een willekeurig reëel getal

k is een willekeurig natuurlijk getal [Dus 0 of een positief geheel getal]

Nu ga ik in de twee functies, die jij hierboven gegeven hebt tx1 en tx2 invullen en dan eens even rekenen.

Allereerst de functie: f(x1,x2) = x1^2 + x2^2

f(tx1, tx2) = (tx1)^2 + (tx2)^2 = t^2*x1^2 + t^2*x2^2 = t^2*(x1^2 + x2^2)

Met andere woorden als ik in de functie tx1 en tx2 invul dan kan ik de functie gaan herschrijven op een dusdanige manier dat de functie te herschrijven is als een vermenigvuldiging waarvan de eerste term enkel t's bevat en de tweede term enkel x'en. In dit voorbeeld kan ik de term t^2 isoleren van de rest van de functie. Aangezien het de term t^2 betreft noemen we dit homogeniteit van de tweede graad.

Nu voor je tweede functie (f(x1,x2) = x1^3 + x2)

f(tx1, tx2) = (tx1)^3 + tx2 = t^3*x1^3 + tx2 = t*(t^2*x1^2 + x2)

Hier zie je dat het trucje van hierboven niet lukte. Het is nu niet mogelijk om in deze functie tx1 en tx2 in te vullen en de functie vervolgens op een dergelijke manier te schrijven dat ik een vermenigvuldiging krijg waarvan de eerste term enkel t's bevat en de tweede term enkel x'en.

Ik zal je nog een ander voorbeeld geven.

Neem de functie f(x1, x2) = x1^3*x2^4

Vul nu tx1 en tx2 in:

f(tx1, tx2) = (tx1)^3*(tx2)*4 = t^3*x1^3*t^4*x2^4 = t^3*t^4*x1^3*x2^4 = t^7*x1^3*x2^4.

Deze functie is homogeen want als ik tx1 en tx2 in de functie invul dan is het mogelijk om de functie als een vermenigvuldiging te schrijven waarvan de eerste term enkel t's bevat en de tweede term enkel x'en. Ik kan nu de term t^7 isoleren. Formeel zeggen we nu dat de functie homogeen is in de zevende graad.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

homogene functie

homogene functie

Re: homogene functie

Re: homogene functie