Oppervlakte integraal.

Bert F

Hallo,

wie kan mij helpen bij volgende oefening? eigenlijk is het niet zo moeilijk alleen zie ik niet hoe ik moet overgaan tot een vector functie. één maal je die hept volgt de rest wel

Afbeelding

Groeten dank bij voorbaat.

PeterPan

Zie een van mijn probleempjes op http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...r=asc&&start=40

Bert F

ja ik heb het gezien maar begrijp nog niet echt hoe ik die moet beginnen??

Bert F

als ik de opgave goed begrijp dan zijn het twee cillinders die elkaar kruisen in het nulpunt. de oppervlakte van één van de twee cilinders kan je gemakkelijk met zo'n oppervlakte integraal berkenen maar zorg je er nu voor dat je alleen die oppervlakte hebt binnen de andere?

Andy

als ik de opgave goed begrijp dan zijn het twee cillinders die elkaar kruisen in het nulpunt. de oppervlakte van één van de twee cilinders kan je gemakkelijk met zo'n oppervlakte integraal berkenen maar zorg je er nu voor dat je alleen die oppervlakte hebt binnen de andere?

das gewoon door uw grenzen goed te kiezen e... intuitie zou zeggen cilindercoordinaten werken, maar misschien niet evident om andere dan in diezelfde cilindercoordinaten te zetten.. als ge cilindercoordinaten hebt ist gewoon r=0 tot r=4 en dan nog es theta=0 tot 2Pi...

eum, enige probleem is dak het beetje kwijt ben hoe ge dan echt oppervlak berekent... gewoon doodweg van iets een oppervlak berekenen... :S finja, als ge da kunt zeggen zouk u verder kunnen helpen, kweet alleen niet wanneer... Kdenk eigenlijk da we tzelfde probleem hebbe, hoe zet ik dat oppervlak nu om, zodat ik kan integreren?

Bert F

ik denk het principe gevonden te hebben zal het eens proberen uitwerken dan ka er mij mss iemand zeggen waar ik de fout in ga.

Dus ik wil de oppervlakte berekenen op de cilinder met vergelijking

\(x^2+z^2=16\)

ik doe dit als volgt:

1.opstellen van de vectorfunctie.

\(z=z\)

\(y=y\)

\(x=\pm\sqrt{16-z^{2}}\)

\(\overline{R}=\sqrt{16-z^{2}} \overline{e1}+y \overline{e2}+ z \overline{e3}\)

Waar zit de fout? wie kan mij hierbij helpen? en vooral klopt men denkwijze?

Groeten.

afgeleid naar y 1

afgeleid naar z

\(\frac{-z}{\sqrt{16-z^2}}\)

nu dien ik het vertorieel product te brekenen met de functie afgeleid naar

dan bekom ik (na dit gedaan te hebben)

\(1+\frac{z}{16-z^2}\)

dit dien ik dus te integreren en ik doe dit over de grenzen z van nul tot 4 en y ook van nul tot vier echter ik bekom dan een integraal die na oplossen

\(\infty\)

als uitkomst heeft

TD

De functie waarvan we een stuk van de oppervlakte zoeken benoem ik \(f = x^2+z^2-16\). We bepalen vervolgens

\(\frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec v|}\)

waarbij v een uitwendig gerichte eenheidsnormaal is.

\(\nabla f = (2x,0,2z) \Rightarrow |\nabla f| = \sqrt{4x^2+4z^2}\)

Maar \(x^2+z^2=16\) dus dat vereenvoudigt zich tot

\(|\nabla f| = \sqrt{4x^2+4z^2} = \sqrt{64} = 8\)

De projectie van deze cilinder op de andere geeft een cirkel in het xy-vlak met vergelijking \(x^2+y^2=16\). Een uitwendig gerichte eenheidsnormaal is dus de eenheidsvector volgens de z-as. We bepalen dan de noemer:

\(|\nabla f \cdot \vec v|} = |(2x,0,2z) \cdot (0,0,1)| = |(0,0,2z)| = 2z\)

We willen z kwijt in de integraal dus voor deze laatste z gebruiken we de vergelijking van de cilinder waarvan we de oppervlakte zoeken. Ik neem de positieve wortel, we vinden dan \(z = \sqrt{16-x^2}\). Invullen:

\(\frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec v|} = \frac{8}{2z} = \frac{4}{\sqrt{16-x^2}}\)

Dit integreer je over die cirkel c (projectie in xy-vlak)

\(\int\int_C \frac{4}{\sqrt{16-x^2}} dxdy\)

Nu zou je door de aard van het integratiegebied poolcoördinaten kunnen overwegen, maar eigenlijk is dat niet nodig. Als je een goede volgorde van integratie kiest, dan komt die noemer netjes uit. Ik integreer dus eerst naar y, dan naar x, over die cirkel.

\(\int\limits_{ - 4}^4 {\int\limits_{ - \sqrt {16 - x^2 } }^{\sqrt {16 - x^2 } } {\frac{4}{{\sqrt {16 - x^2 } }}} dy} dx = \int\limits_{ - 4}^4 {\left[ {\frac{{4y}}{{\sqrt {16 - x^2 } }}} \right]_{ - \sqrt {16 - x^2 } }^{\sqrt {16 - x^2 } } } dx = \int\limits_{ - 4}^4 8 dx = 64\)

We hebben nu enkel de oppervlakte boven het xy-vlak bepaald, wegens symmetrie geldt dan dat de totale oppervlakte gelijk is aan 128.

Bert F

was mijn methode principeel fout?

bedoel je met dit een oppervlakte eenheid?

\(\frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec v|}\)

Groeten. En vooral bedankt.

TD

Ik denk dat je nog oké begon, maar daarna vond ik het niet echt meer duidelijk. Ik heb even gekeken hoe het in je cursus staan aangepakt, hier een lichtjes andere weg. We kunnen namelijk parameteren in x en y, dan is z (ik neem de positieve wortel) sqrt(16-x²). De vectorfunctie r is dan \(\vec r = \left( {x,y,\sqrt {16 - x^2 } } \right)\), dus is \(h\left( {x,y} \right) = \sqrt {16 - x^2 } \). Je hebt dan de formule gezien:

\(\int {\int\limits_S {dO} } = \int {\int\limits_g {\left| {\frac{{\partial \vec r}}{{\partial u}} \times \frac{{\partial \vec r}}{{\partial v}}} \right|dudv} } = \int {\int\limits_g {\sqrt {1 + p^2 + q^2 } dxdy} } \)

Hierin is

\(p = \frac{{\partial h}}{{\partial x}} = - \frac{x}{{\sqrt {16 - x^2 } }},q = \frac{{\partial h}}{{\partial y}} = 0\)

Dus

\(\sqrt {1 + p^2 + q^2 } = \sqrt {1 + \left( { - \frac{x}{{\sqrt {16 - x^2 } }}} \right)^2 } = \frac{4}{{\sqrt {16 - x^2 } }}\)

We vinden dus hetzelfde als integrand, uitwerken dan analoog (integreren over die cirkel).

Bert F

ik heb een fout gevonden in mijn werkstukje:

de vectorfunctie die ik denk gevonden te hebben is

\(\vec{R}=x\vec{e}_1 +y \vec{e}_2+\sqrt{16-x^2}\vec{e}_3\)

die leid ik nu af naar x

\(1 \vec {e}_1 - \frac{x}{\sqrt{16-x^2}} \vec{e}_3\)

en naar y

\(1\vec{e}_2\)

maw mijn afgeleiden van mijn vector functie zijn anders dan TD! de zijne x en y zijn idd variabelen maar die dienen toch nog voor te komen in de vectorfunctie? of niet? waar zit het mis? leid ik verkeerd af?

Groeten.

TD

In de formule die ik gebruikte (staat in je cursus!) werk je enkel met de z-component, omdat x en y de parameters zijn. Je leidt dus z = h(x,y) af naar x en y (dat zijn die p en q).

Bert F

In de formule die ik gebruikte (staat in je cursus!) werk je enkel met de z-component, omdat x en y de parameters zijn

weet ik maar omdat ik die in de eerste instantie niet duidelijk genoeg vond heb ik me ook gebaseerd op nog andere notas namelijk http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers...egralsIntro.asp

Je leidt dus z = h(x,y) af naar x en y (dat zijn die p en q).

weet ik en dat doe ik ook maar waarom is mijn afgeleide anders dan de jouwe? daar zit ik met een probleem ik doe iets fout met die afgeleide te bereken ik weet enkel nog niet wat?

dus eigenlijk zijn die p en q afgeleide naar x respectievelijk y mijn afgeleid moet ook gelijk zijn aan die p en die q toch is dit niet.

Groeten.

Bert F

ik ben mss niet echt duidelijk geweest daarom dit voorbeeldje.

Afbeelding

Hier gaat men starten met een pareterisatie van het oppervlakte nadien bij 2 leid men deze parameterisatie af naar de twee veranderlijken men heeft dan dus de richtingvectoren deze gaat men vectorieel producteren en daardoor als men hier de norm van berekent heeft bekomt men dus een oppervlakte eenheid die men kan sommeren.

Daarom mijn vraag of de parametirisatie van het oppervlakte en bijbehorende afgeleiden fout zijn?

Groeten.

TD

Zie mijn antwoord voor een parametrisatie ifv x en y, dat is de vectorfunctie r. Als je denkt dat je afgeleide fout zijn, geef die dan eens duidelijk met je werkwijze. Snap je de gegeven oplossing(en) nu wel?

Bert F

het berichtje dat je eerst schrijf (dus de eerste oplossing) snap ik minder maar de rest wel.

Ik zal in het kort beschrijven hoe ik denk dat ik dat moet oplossen. Ik start met een parameterisatie van het oppervlak maw ik ga het oppervlak beschrijven met een vectorfuntie.

\(x^2+z^2=16\)

hiervan dien ik dus voorgenoemde vector functie te maken.

ik start met het feit dat ik y vrij mag kiezen dus

\(y=y\)

vervolgens kies ik één van de twee ook nog vrij dus

\(x=x\)

z is nu automatisch bepaalt want ik los op

\(z= \sqrt{16-x^2}\)

hieruit volgt dat

\( \vec{R}= x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + \sqrt{16-x^2} \vec{e_3} \)

nu dien ik deze vectorfunctie af te leiden een keer naar x en een keer naar y

\( \vec R_{x}= \vec{e1} +\frac{-x}{\sqrt{16-x^2}} \vec{e_3} \)

\( \vec R_{y}= \vec{e_2}\)

Nu dien ik het vectorieel produkt te nemen met die twee vectoren, dat nu doen heeft geen zin omdat mijn afgeleide fout zijn.

De fout zit er in dat als ik

\(x\vec {e_1}\)

dit differentieer dan krijg ik

\(\vec{e_1}\)

Analoog voor die andere.

Groeten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oppervlakte integraal.

Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.

Re: Oppervlakte integraal.