Afgeleide met sommatieteken

Anne B.

Ik zit in de knoop met volgende partiële afgeleide:

f=lnW + alfa.gif (

n_j - N)

f/

n_j zou gelijk moeten zijn aan -ln n_j - 1/n_j * n_j + 1 + alfa.gif . Kan iemand mij uitleggen hoe het precies in zijn werk is gegaan?

TD

Je zal wat duidelijker moeten zijn. Wat zijn de grenzen van de sommatie? Wat is de afhankelijkheid van W naar n_j? Ontbreken er geen haakjes in je antwoord? Anders is -1/n_j * n_j gewoon gelijk aan -1.

Anne B.

1/n_j * n_j is inderdaad gelijk aan -1, maar ik heb het laten staan voor de duidelijkheid. Bij het sommatieteken moet er nog een j onder staan, grenzen zijn er niet maar ik denk van 1 tot N.

W = N! / (n₁!n₂!...n_j!...)*(omega.gif /V)^N waarbij zowel N als omega.gif /V constanten zijn. alfa.gif is ook een constante.

TD

Vreemd, dat vind ik niet direct. Van waar komt die -ln(n_j) in die afgeleide?

Anne B.

Ik zie het ook totaal niet... Ik weet wel dat in de afleiding van de hele formule vroeger de stirling formule is gebruikt (ln n! : n ln n - n voor n groot) maar dat zie ik er ook niet direct in...

TD

Ok, dat helpt - net zoals weten wat W is ook helpt om W af te leiden naar n_j

Toch kom ik nog niet aan jouw antwoord, maar misschien ben je hier al wat mee:

\(f = \ln W + \alpha \sum\limits_j {n_j - N} \)

\(W = \frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots n_j ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N = \frac{1}{{n_j !}}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N \)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial n_j }} = \frac{{\partial \ln W}}{{\partial W}}\frac{{\partial W}}{{\partial n_j }} + \alpha \frac{{\partial \left( {\sum\limits_j {n_j - N} } \right)}}{{\partial n_j }}\)

\(\frac{{\partial W}}{{\partial n_j }} = \frac{{\partial \left( {\frac{1}{{n_j !}}} \right)}}{{\partial n_j }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N = - \frac{{\frac{{\partial n_j !}}{{\partial n_j }}}}{{n_j !^2 }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N\approx - \frac{{\frac{{\partial \left( {n_j \ln n_j - n_j } \right)}}{{\partial n_j }}}}{{n_j !^2 }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N = - \frac{{\ln n_j }}{{n_j !^2 }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)\)

\(\frac{{\partial \ln W}}{{\partial W}}\frac{{\partial W}}{{\partial n_j }} = - \frac{{\ln n_j }}{{n_j !^2 }}\left( {\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)} \right)\frac{1}{W} = - \frac{{\ln n_j }}{{n_j !^2 }}\left( {n_j !W} \right)\frac{1}{W} = - \frac{{\ln n_j }}{{n_j !}}\)

De ln(n_j) komt dus al tevoorschijn, maar bij mij nog met een n_j! in de noemer.

In jouw oplossing vallen vervolgens -1 en +1 tegen elkaar weg, in de sommatie krijg je nog precies één keer alpha zodat we hetzelfde uitkomen, op mijn noemer n_j! na...

\(\frac{{\partial f}}{{\partial n_j }} = \frac{{\partial \ln W}}{{\partial W}}\frac{{\partial W}}{{\partial n_j }} + \alpha \frac{{\partial \left( {\sum\limits_j {n_j - N} } \right)}}{{\partial n_j }} = - \frac{{\ln n_j }}{{n_j !}} + \alpha \)

Misschien zie ik ergens iets over het hoofd en valt die ook weg, in dat geval ben je er. Bekijk het maar eens.

Anne B.

Hm, dat helpt al veel!

Toch nog drie vraagjes over de volgende regel:

\(\frac{\partial W}{\partial n_j } = \frac{{\partial \left( {\frac{1}{{n_j !}}} \right)}}{{\partial n_j }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N = - \frac{{\frac{{\partial n_j !}}{{\partial n_j }}}}{{n_j !^2 }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N\approx - \frac{{\frac{{\partial \left( {n_j \ln n_j - n_j } \right)}}{{\partial n_j }}}}{{n_j !^2 }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)^N = - \frac{{\ln n_j }}{{n_j !^2 }}\frac{{N!}}{{n_1 ! \cdots }}\left( {\frac{\omega }{V}} \right)\)

1. Ik begrijp niet goed hoe je

\(\frac{\partial{\frac{1}{n_j !}}}{\partial{n_j}}\)

berekent.

2.

\(\frac{\frac{\partial{n_j\ln n_j-n_j}}{\partial n_j}}{n_j!^2}\)

Waarom is dit niet gelijk aan

\(\frac{\ln n_j - 1}{n_j!^2}\)

?

3.

Bij de laatste stap in de vanboven gecopy-paste regel, moet er niet

\(-\frac{\ln n_j}{n_j!^2}\frac{N!}{n_1!\cdots}(\frac{\omega}{V})^N\)

staan?

TD

1: via de kettingregel, eerst naar n_j! en dan pas bij Stirling toepassen.

2: gebruik de productregel

\(\frac{{\partial \left( {\frac{1}{{n_j !}}} \right)}}{{\partial n_j }} = \frac{{\partial \left( {\frac{1}{{n_j !}}} \right)}}{{\partial n_j !}}\frac{{\partial n_j !}}{{\partial n_j }} \approx \frac{{\partial \left( {\frac{1}{{n_j !}}} \right)}}{{\partial n_j !}}\frac{{\partial \left( {n_j \ln n_j - n_j } \right)}}{{\partial n_j }} = - \frac{1}{{n_j !^2 }}\ln n_j \)

3: bedoel je die macht N? Die hoort er inderdaad nog bij, maar dat valt later ook weer weg tegen W.

Anne B.

Geweldig, dankjewel! Als ik er nog achter kom waar die n_j! in de noemer naartoe is, laat ik het wel weten

TD

Prima, hopelijk begrijp je alvast iets beter wat er allemaal gebeurt. Succes!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Afgeleide met sommatieteken

Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken

Re: Afgeleide met sommatieteken