Raaklijn ellips

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 171

Raaklijn ellips

Een goede dag,

hier een klein vraagje, het is niet zo moeilijk, maar door rekenwerk maak ik telkens fouten..

voor een ellipse x²/a²+y²/b²=1

toon aan dat de vergelijking van de raaklijn in punt (x',y') is:

x.x'/a²+y.y'/b²=1

thanks

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Raaklijn ellips

We zoeken eerst de richtingscoëfficiënt, dit is de afgeleide in het punt. Om niet met wortels te werken zal ik impliciet afleiden om zo dy/dx te vinden ifv x en y.
\(\frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 }} = 1\mathop \to \limits^{\frac{d}{{dx}}} \frac{{2x}}{{a^2 }} + \frac{{2yy'}}{{b^2 }} = 0 \Leftrightarrow y' = - \frac{{b^2 x}}{{a^2 y}}\)
De raaklijn opstellen vanuit de formule levert:
\(y - y_0 = - \frac{{b^2 x_0 }}{{a^2 y_0 }}\left( {x - x_0 } \right) \Leftrightarrow a^2 y_0 y - a^2 y_0 ^2 = - b^2 x_0 x + b^2 x_0 ^2 \Leftrightarrow a^2 y_0 y + b^2 x_0 x = a^2 y_0 ^2 + b^2 x_0 ^2 \)
Nu is het rechterlid te vereenvoudigen omdat we weten dat (x0,y0) op de ellips ligt, dus:
\(\frac{{x_0 ^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y_0 ^2 }}{{b^2 }} = 1 \Leftrightarrow b^2 x_0 ^2 + a^2 y_0 ^2 = a^2 b^2 \)
Terug naar de raaklijn, het rechterlid vervangen door a²b²:
\(a^2 y_0 y + b^2 x_0 x = a^2 b^2 \Leftrightarrow \frac{{x \cdot x_0 }}{{a^2 }} + \frac{{y \cdot y_0 }}{{b^2 }} = 1\)

Berichten: 171

Re: Raaklijn ellips

sjank you !!!1

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Raaklijn ellips

You're welcome :roll:

Reageer