Oppervlakte-integraal berekenen.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 2.589

Oppervlakte-integraal berekenen.

Hallo,

Ik heb hier bij me volgende oppervlakte integraal liggen:

Afbeelding

Het uitwerken lukte me redelijk alleen kom ik niet uit wat ik zou uit moeten komen.

Dus als er eens iemand kort wilt na kijken?

Ik probeer het op volgende manier
\( \vec{R}=\rho \cos \theta \vec{e_1} +\rho \sin \theta \vec{e_2} +c \theta \vec{e_3}\)
laat me voor de eenvoudigheid
\(r=\rho t=\theta\)
dan leid ik tweemaal af dus
\( \vec{R}_t=-r \sin t \vec{e_1} +r \cos t \vec{e_2} +c\vec{e_3}\)
en naar r wordt:
\(\vec{R}_r=\cos t \vec{e_1} + \sin t \vec{e_2} \)
het determinatje uit schrijven in latex lukt me nog niet zo goed maar één maal ik dat berekent heb bekom ik
\( c \cos( t) \vec{e_2} -r \sin^2 t \vec{e_3} - r \cos^2( t) \vec{e_3} - c \sin (t) \vec{e_1}\)
dit kan ik dan herschrijven tot
\( c \cos(t) \vec{e_2} - r - c \sin(t) \vec{e_1}\)
dus is de norm hiervan
\(c^2 \sin ^2 (t) +c^2 \cos^2 (t) +r^2\)
en dus
\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_a^b(c^2+r^2)drdt=[c^2 r + \frac{r^3}{3}]^b_a=\int^{\frac{\pi}{2}}_0(c^2 b +\frac{b^3}{3})-(c^2 a +\frac{a^3}{3})dt=[c^2 b t +\frac{b^3}{3} t -c^2 a t + \frac{a^3}{3} t ]^{\frac{\pi}{2}}_0\)
als ik hier nog wat meer aan vereenvoudig bekom ik uiteindelijk
\( \frac{\pi}{2}(c^2(b-a)+\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3})\)
maar eigenlijk zou het moeten zijn:
\( \frac{\pi}{4}(b\sqrt{b^2+c^2}-a\sqrt{a^2+c^2} + c^2 \ln\frac{b+\sqrt{b^2+c^2}}{a+\sqrt{a^2+c^2}})\)
Waar loopt het fout? Groeten Dank bij voorbaat.

Berichten: 169

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

Ik heb er net examen van gehad dus ik zal het eens proberen :wink:

Volgens mij loopt het mis bij de norm hoor, je bent gewoon de vierkantswortel vergeten te nemen, voor de rest kom ik ook hetzelfde uit, dus reken de integraal nog eens uit met wortel(r²+c²)drdt :roll:

Melissa

Berichten: 169

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

Ik heb het even nagerekend en het komt uit met wortel(r²+c²)...

Melissa

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

Het integreren wordt er helaas niet gemakkelijker op, maar zoals Melissa opmerkt ben je de vierkantswortel van je norm vergeten.

Voor een determinant in LaTeX, klik om het te leren:
\(\left| {\begin{array}{cc} a & b c & d \end{array} } \right|\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

bedankt ik ga hem zoeken en zal hem dan posten.

Berichten: 2.589

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

zo dus?
\(\int\int \sqrt{r^2+c^2}dr dt u=\frac{r}{c} du=\frac{1}{c}\)

\(c^2\int \int\sqrt{u+1} dr dt u=tg a du=\sec^2 a\)

\(c^2\int\int\frac{1}{\sec a} da dt = c^2 \int \int \cos a da dt = c^2\int[\sin a] dt\)

\(c^2\int (bgtg(\sin a)- btg (\sin b ))dt \)


Kom ik er zo?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

Er ontbreekt opeens een kwadraat bij u denk ik, ik herschrijf even:
\(\int {\sqrt {r^2 + c^2 } dr} = c\int {\sqrt {\left( {\frac{r}{c}} \right)^2 + 1} dr} \to r = c\tan a \Rightarrow dr = c\sec ^2 ada\)
De integraal gaat dan over in:
\(c^2 \int {\sqrt {\tan ^2 a + 1} \sec ^2 ada} = c^2 \int {\sec ^3 ada} \)
En die is pas in de topic over integralen geweest. Je kan ook hyperbolische functies gebruiken, ipv tan/sec.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

die kan ik dan oplossen zoals in dat eerder topic maar bij de breuksplitsing vind ik twee mogelijke manieren namelijk:
\(\frac{1}{1-u^2}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{u-1}\)
waarbij dan
\(B=\frac{1}{2} A=\frac{-1}{2}\)
of ik kan het ook nog zo doen
\( \frac{1}{(1-u)(1+u)}=\frac{A}{(1-u)}+\frac{B}{1+u}\)
waarbij ik dan tweemaal
\(\frac{1}{2}\)
uit kom is dat normaal?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

Dat tweede klopt, bij het eerste moet het minteken wel verwisseld worden.

Waarom kan het op die twee manieren? Vergelijk de noemers eens!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

ze stoppen dat maw weg in de noemer?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

Zoiets ja, (1-u) = -(u-1), daar zit het :roll:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Oppervlakte-integraal berekenen.

oké bedankt heb weer wat bijgeleerd bedankt daarvoor.

Groeten.

Reageer