Oppervlakte-integraal berekenen.
Geplaatst: do 22 jun 2006, 13:57
Hallo,
Ik heb hier bij me volgende oppervlakte integraal liggen:
Het uitwerken lukte me redelijk alleen kom ik niet uit wat ik zou uit moeten komen.
Dus als er eens iemand kort wilt na kijken?
Ik probeer het op volgende manier
Ik heb hier bij me volgende oppervlakte integraal liggen:
Het uitwerken lukte me redelijk alleen kom ik niet uit wat ik zou uit moeten komen.
Dus als er eens iemand kort wilt na kijken?
Ik probeer het op volgende manier
\( \vec{R}=\rho \cos \theta \vec{e_1} +\rho \sin \theta \vec{e_2} +c \theta \vec{e_3}\)
laat me voor de eenvoudigheid \(r=\rho t=\theta\)
dan leid ik tweemaal af dus \( \vec{R}_t=-r \sin t \vec{e_1} +r \cos t \vec{e_2} +c\vec{e_3}\)
en naar r wordt: \(\vec{R}_r=\cos t \vec{e_1} + \sin t \vec{e_2} \)
het determinatje uit schrijven in latex lukt me nog niet zo goed maar één maal ik dat berekent heb bekom ik \( c \cos( t) \vec{e_2} -r \sin^2 t \vec{e_3} - r \cos^2( t) \vec{e_3} - c \sin (t) \vec{e_1}\)
dit kan ik dan herschrijven tot \( c \cos(t) \vec{e_2} - r - c \sin(t) \vec{e_1}\)
dus is de norm hiervan \(c^2 \sin ^2 (t) +c^2 \cos^2 (t) +r^2\)
en dus \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_a^b(c^2+r^2)drdt=[c^2 r + \frac{r^3}{3}]^b_a=\int^{\frac{\pi}{2}}_0(c^2 b +\frac{b^3}{3})-(c^2 a +\frac{a^3}{3})dt=[c^2 b t +\frac{b^3}{3} t -c^2 a t + \frac{a^3}{3} t ]^{\frac{\pi}{2}}_0\)
als ik hier nog wat meer aan vereenvoudig bekom ik uiteindelijk \( \frac{\pi}{2}(c^2(b-a)+\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3})\)
maar eigenlijk zou het moeten zijn: \( \frac{\pi}{4}(b\sqrt{b^2+c^2}-a\sqrt{a^2+c^2} + c^2 \ln\frac{b+\sqrt{b^2+c^2}}{a+\sqrt{a^2+c^2}})\)
Waar loopt het fout? Groeten Dank bij voorbaat.
