Oplossen differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 05-07-'06, 12:46

reussue

Oplossen differentiaalvergelijking

Ik vroeg mij aan de hand van het topic [natuurkunde] Omvallende balk af, of het mogelijk is om een bepaalde (volgens mij) differentiaalvergelijking op te lossen.

De tweede afgeleide van de functie was bekend:
\(\frac{d^2x}{dt^2} = c \cdot \sin(x)\)
En we waren opzoek naar de eerste afgeleide, uitgedrukt in x:
\(\frac{dx}{dt} = f(x)\)
Via behoud van energie was het wel te berekenen, maar is het ook mogelijk op deze manier. En tevens vroeg ik mij af of het mogelijk is om over te gaan van x naar t, dus om de tweede, eerste en nulde afgeleide naar t van x uit te drukken in t.
Omhoog

Bericht 08-07-'06, 13:22

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen differentiaalvergelijking

Ik neem aan dat x in functie van t niet gekend is? Dan lijkt die eerste DV me niet eenvoudig op te lossen.

Als het van de eerste orde was kon je de veranderlijken echter gewoon scheiden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 08-07-'06, 17:40

evilbu

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Oplossen differentiaalvergelijking

behoud van energie is DE manier voor een dergelijk probleem

als de energie E is, dan weet je dat
\(\frac{v^2}{2}+c \cos x =E \)
voor alle t geldt

dat geeft je de energie :
\(\frac{dx}{t}=v=plus\min \sqrt{2 E -c \cos x }\)
dat geeft je al de snelheid v in functie van x

tja, als je nu ook nog es alles in functie van t wil, wel afleiden kan iedereen, kortom, dat is even moeilijk als x in functie van t vinden :

herwerk mijn laatste vergelijking :
\(dt=plus\minus \frac{dx} {\sqrt{ 2 E- c \cos x}}\)
nu als jij dat kan integreren naar x, heb je t in functie van x, en als je dat kan oplossen naar x, heb je x in functie van t

je ziet, allemaal mooie theorie, maar in de praktijk lukt dit maar zelden echt expliciet
Omhoog

Bericht 09-07-'06, 16:18

reussue

Re: Oplossen differentiaalvergelijking

Ok, bedankt voor julie reacties, volgens mij kan ik hier dan maar beter behoud van energie gebruiken.
Omhoog

Bericht 12-07-'06, 01:47

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Oplossen differentiaalvergelijking

De bewegingsvergelijking is volgens mij :
\(\frac{d^2\psi}{dt^2} - \frac{2g}{L} \cdots\in\psi=0\)
Nu links en rechts vermenigvuldigen met :
\(2\cdot\frac{d\psi}{dt}\)
Dit geeft:
\(2\cdot\frac{d\psi}{dt}\cdot\frac{d^2\psi}{dt^2} - \frac{4g}{L}\cdots\in\psi\cdot\frac{d\psi}{dt} =0\)
Links en rechts integreren naar de tijd geeft:
\((\frac{d\psi}{dt})^2 +\frac{4g}{L}\cdot\cos\psi + C =0\)
Nu de constante C bepalen:

Als \(\psi=0\) dan is ook \(\frac{d\psi}{dt}\) is 0

Dus:

C=- 4g /L

Tot zover, ik ben er nog niet helemaal uit .
Omhoog

Bericht 20-07-'06, 00:55

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Oplossen differentiaalvergelijking

\({\frac{d\psi}{dt}}^2 = \frac{4g\cdot( 1-\cos\psi)}{L}\)
\(\frac{d\psi}{dt} = \sqrt{\frac{4g\cdot(1-\cos\psi)}{L}}\)
\(\frac{d\psi}{\sqrt{\frac{4g\cdot(1-\cos\psi)}{L}}}=dt\)
Stel nu:
\(2\cdots\in^2(1/2\psi)=(1-\cos\psi)\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”