Resterm van Lagrange.

Bert F

gegeven is een functie, een klasieke

\(f(x)=e^x\)

hiervan kan ik de algemeene term bepalen in een reeks ontwikkeling uiteindelijk volgt

\(\frac{x^n}{n!}\)

als je dan de lagrange fout hiervan wilt bepalen dan kan je dat als volgt doen

\(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}\)

dus gewoon de volgende term klopt dat?

nu heb ik een ander functie namelijk sin(x) en hier heb ik gevonde

\((-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\)

nu wil ik graag de restterm bepalen tot op orde 2n+1 nu had ik geprobeerd dit maar gewoon in die formule te substitueren maar ik kom er niet uit?

Hoe doe ik dit? wat is het verschil met n+1 of 2n+1 ?

Groeten Dank bij voorbaat.

TD

Bert F schreef:gegeven is een functie, een klasieke
\(f(x)=e^x\)
hiervan kan ik de algemeene term bepalen in een reeks ontwikkeling uiteindelijk volgt
\(\frac{x^n}{n!}\)
als je dan de lagrange fout hiervan wilt bepalen dan kan je dat als volgt doen
\(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}\)
dus gewoon de volgende term klopt dat?

Voor alle duidelijkheid, je ontwikkelt rond x = 0.

Dan klopt je formule voor de restterm, met \(\theta \in \left( {0,1} \right)\).

Bert F schreef:nu heb ik een ander functie namelijk sin(x) en hier heb ik gevonde
\((-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\)
nu wil ik graag de restterm bepalen tot op orde 2n+1 nu had ik geprobeerd dit maar gewoon in die formule te substitueren maar ik kom er niet uit?

Hoe doe ik dit? wat is het verschil met n+1 of 2n+1 ?

Wat je hier geeft is ook niet de restterm, maar de algemene term van de reeks voor sin(x) rond x = 0.

De (Lagrange) restterm van orde n is nog steeds dezelfde, namelijk:

\(R_n \left( x \right) = \frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right)!}}f^{\left( {n + 1} \right)} \left( \xi \right)\)

Met hier \(a=0\), \(\xi \in \left( {0,x} \right)\) en \(f\left( x \right) = \sin x\) uiteraard.

Bert F

idd dit is de algemeene term maar men vraagt men nu de restterm te bepalen voor 2n+1 dus wordt dat dan gewoon

\((-1)^{(2n+1)-1}\frac{x^{2(2n+1)-1}}{(2(2n+1)-1)!}\sin(\theta x)\)

?

Groeten.

TD

Waarom ga je uit van die algemene term? Die is gewoon op die manier herschreven omdat voor sin(x), alle even termen wegvallen, vandaar in (2n-1). Bovendien wisselt het teken steeds, vandaar de (-1) factor met macht. Maar voor de n-de restterm (n natuurlijk te vervangen door eender wat, ook bijvoorbeeld 2n+1) gebruik je gewoon de formule voor de restterm die ik gaf.

Bert F

ah ik deed dit omdat het mij op die manier ook lukt bij de vorige opgave daar was de algmeene term

\(\frac{x^n}{n!}\)

en dus volgde dat de restterm op n+1 is

\(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}\)

daarom dacht ik dat dit hier ook zo moest lukken?

TD

Voor e^x hebben we zo een 'mooie, eenvoudige' algemene formule, net omdat e^x zijn eigen afgeleide is (en alle termen bestaan dus, en zijn gemakkelijk). Bij sin(x) hebben we bijvoorbeeld alleen oneven termen, bij cos(x) alleen even termen. Dit maakt het 'moeilijker' om de algemene term in de reeks in één mooie formule te schrijven, maar het kan wel (respectievelijk via 2n+1 en 2n om te garanderen dat het over respectievelijk de oneven en even termen gaat).

Zo is het niet voor elke functie mogelijk om de algemene term zo 'samen te vatten' voor willekeurige n in een algemene formule, maar de formule voor de restterm blijft wel geldig.

Bert F

dus al ik het goed begrijp moet ik hier de formule wat aanpassen tot dat ik 2n+1 bekom?

Aldus

\(R_{2n+1}=\frac{x}{(2n+1)!}f^{(2n+1)}(\cos (x) \theta)\)

is dit al?

TD

Bijna, let goed op: de n-de restterm gaf aanleiding tot een macht (en noemer faculteit) n+1, dus de 2n+1-de restterm geeft dan 2n+2 of 2(n+1).

Ook zie ik niet wat die cosinus daar als argument van f doet. Want f is precies de functie, en dat was toch sinus hier dacht ik.

Bert F

het is idd een sin moet je dus die formulle op die manier invullen versta n+1 veranderen door bv 2n+1 als ze je vragen bepaal de restterm 2n+1?

TD

Die n+1 hoort bij de n-de restterm (vandaar R_n), dus voor de "2n+1"-de restterm krijg je een macht (en faculteit in de noemer) van 2n+2.

Bert F

Die n+1 hoort bij de n-de restterm (vandaar R_n), dus voor de "2n+1"-de restterm krijg je een macht (en faculteit in de noemer) van 2n+2.

oké dat begrijp ik.

Je hebt dus da algemeene formule (die TD! gaf) voor n en je kan daarin die n veranderen door bv 2n+1 enz voor dan de de 2n+1 de resterm te krijgen dan verander je ook die macht en je vermenigvuldig met de oorspronkelijke functie om daar dan een

\(\theta\)

voor de x te zetten.

oké maar dan zit er in volgende een fout:

Afbeelding

die sin klopt niet in de resterm moet dat niet de 2n+1 afgeleiden zijn maar gewoon sin?

Of niet? Groeten.

TD

Als je een sinus een even aantal keer afleidt, dan heb je terug een sinus (met mogelijk een tekenverandering). Als je de sinus een oneven aantal keer afleidt, dan heb je een cosinus (opnieuw mogelijk met een tekenverandering). Vermits 2n+1 sowieso oneven is, zitten we daar met een cosinus. Het teken wordt bepaald door die factor (-1)^n. Ze hebben die "2n+1"-de afgeleide dus al vereenvoudigd.

Bert F

oké dan moet je er toch de 2n+1 afgeleide zetten? niet gewoon de oorspronkelijke functie?

geen fout in dat boek?

TD

Normaalgezien moet er de (2n+1)-de afgeleide van sin(a) staan, maar een oneven afgeleide van sin is precies cos, op de tekencorrectie na.

Bert F

en dit natuurlijk zonder die

\(\theta\)

eruit te halen want die schrijf je er pas nadien bij.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Resterm van Lagrange.

Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.

Re: Resterm van Lagrange.