Ze willen gaan uitlkeggen hoe ze een determinant berkenen door te gaan ontwikkelen naar een kolom.
ze doen dit zls volgt:
beschowen een kolom en ga die dan naar voor halen of zeggen ze mbv van de multilineairiteit kunnen we dit ook alsvolgt schrijven 4.6 waar ze dus alleen die vector Ei er nog inlaten maar waarom is dit een vector met alleen nullen? en alleen een één in de i-dekolom? in het klassiek geval zal dit zowel zijn, de standaard basis maar in het algemeen?
éénmaal dat gedaan zetten ze die vector in de eerste kolom maar waarom gaan ze dan die één in de eerste rij zetten?
Kijk naar hoe ze een kolom voorstellen: je neemt een standaardvector en vermenigvuldigt deze met de respectievelijke scalairen op de juiste plaats. Het is zoals zeggen dat (2,3,-4) = 2*(1,0,0) + 3*(0,1,0) - 4*(0,0,1). Ze nemen die standaardvectoren omdat deze net gemakkelijk zijn natuurlijk. In mijn voorbeeld hebben we ze respectievelijk E1,E2,E3; zij het dan wel in rijen ipv kolommen.
Je vervangt de j-de kolom door de uitdrukking van deze vorm, maar omdat de determinant multilinear is kan je die sommatie naar voor brengen en blijft de Ei over. Dit is precies een 1 in de i-de rij en verder nullen in de kolom. Bovendien mag je rijen en kolommen van plaats verwisselen (gelet op tekenwijzigingen), zo krijg je die Ei naar E1 in de eerste kolom.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Je vervangt de j-de kolom door de uitdrukking van deze vorm, maar omdat de determinant multilinear is kan je die sommatie naar voor brengen en blijft de Ei over.
oké dat klopt maar gaan we dit ook daadwerkelijk moeten doen ? gaan we straks niet gewoon de determinant berkenen zonder eerst een overgang te doen?
Nee. Het volstaat net om dit te bewijzen waarbij je de vectoren uitschrijft in een eender welke basis, vermits de keuze van de basis de algemeenheid van het bewijs niet in gedrang brengt (we *zouden* namelijk een andere basis kunnen kiezen, maar dat zou het gewoon moeilijker maken; we werken dus in de standaardbasis).
aha hij doet 2 verwisselingen kort na één eerst een kolom dan een rij?
Juist, zodanig dat de "1" in posititie (1,1) komt te staan, en eronder alleen nullen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
In aantal dagen geleden opende ik dit topic op het eerste zicht vond ik het geen wat me wouw gaan bewijzen een beetje triviaal en eigenlijk voortvloeiend uit de defenitie van de rang. Maar verder zij me dan dat met deze stelling eigenlijk bewezen was dat men gelijk welke basis kon gebruiken en dat was dan idd ook weer nuttig voor een andere stelling te bewijzen. Waarschijnelijk gebruikt men dit resultaat van om het even welke basis kiezen geen verschil in de determinant oplevert?
Welja, maar eigenlijk is het zo moeilijk niet. Gegeven was een kolomvector A_j met elementen (a_1j;a_2j;...;a_nj); dit is algemeen. Je kan deze herschrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren, namelijk zoals gegeven in die eerste uitdrukking. Het kan natuurlijk ook in een andere basis, maar dat is het jezelf moeilijk(er) maken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
