In onze Euclidische ruimte nemen we 2 punten \( P(x_1,y_1,z_1) en Q(x_2,y_2,z_2) \). De afstand tussen die 2 punten \( \Delta s=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 }\) blijft altijd dezelfde. De coördinaten kunnen wel veranderen als men verandert van assenstelsel maar de afstand blijft invariant.
In de SRT werkt men met ruimte-tijd en i.p.v. plaatsen spreekt men van gebeurtenissen b.v. Gebeurtenis 1:Ik vertrek naar Sluis om 1 hr Gebeurtenis 2: Ik kom aan in Sluis om 2 hr. De afstand tussen 2 gebeurtenissen noemt men een interval, maar laat ons hier ook van afstand spreken.
Wat blijkt nu in de ruimte-tijd v.d. SRT: Als men 2 gebeurtenissen G en H waarneemt in een eerste inertiaal stelsel, waarin ze de coördinaten \( G(x_1,y_1,z_1,t_1) resp. H(x_2,y_2,z_2,t_2)\) hebben dan zullen deze gebeurtenissen andere coördinaten hebben in een ander inertiaal stelsel dat eenparig beweegt t.o.z. eerste, zijn ze \((x'_1,y'_1,z'_1,t'_1) resp. (x'_2,y'_2,z'_2,t'_2) \).
Als men nu met de Lorentztransformatie overgaat van stelsel 1 naar stelsel 2( de berekening is niet zo moeilijk) dan krijgen we:
\(c^2.(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2=c^2.(t'_2-t'_1)^2-(x'_2-x'_1)^2-(y'_2-y'_1)^2-(z'_2-z'_1)^2\)
waarbij c lichtsnelheid voorstelt.Nu kan men het volgende als afstand definieren in de ruimtetijd die invariant is voor een Lozentztransformatie:
\(\Delta s=\sqrt{c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}\)
Beschouwen we nu één geval waar \( c^2(\Delta t)^2> (\Delta x)2+^(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 en st\ellen we \Delta s= c.\Delta \tau we noemen \tau de eigentijd\).Nu is \( \Delta \tau=\frac{1}{c}.\sqrt{c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2} \) ook een invariant voor de tranformatie van de SRT(Lorentztransformatie).
\(\Delta \tau de eigentijd is voor iedere waarnemer dezelfde\)
.Nemen we als voorbeeld een waarnemer op Aarde en een andere waarnemer in een raket met grote snelheid. De waarnemers zijn gelijkwaardig ze kunnen zich alle twee in rust beschouwen.
De waarnemer op Aarde kijkt om 1 hr op zijn klok en om 2 hr op dezelfde plaats terug op zijn klok dan voor hem \( \Delta \tau=\Delta t want \Delta x=0 ...\).
Voor de waarnemer in de raket gebeuren de gebeurtenissen op verschillende plaatsen. Dus hij moet een grotere \(\Delta t\) vinden om dezelfde \(\Delta \tau\) te vinden hij ziet dus de Aardse tijd trager verlopen. Natuurlijk als men de zaak omkeert zal de waarnemer op Aarde de klok in de raket zien achterlopen. Zo bekeken ziet men dat er geen problemen zijn.
