Een verzameling is aftelbaar als men een bijectie kan leggen tussen de verzameling van de natuurlijke getallen
\(N={0,1,2,3,...}\)
of een echte deelverzameling ervan met de gegeven verzameling.Voorbeelden daarvan zijn de verzameling v.d. gehele getallen
\(Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}\)
en de verzameling van de rationale getallen \(Q={\frac{a}{b} \vert a\in Z en b\in Z^{+}}.\)
. Ze bevatten evenveel getallen als \(N\).Nu is de verzameling v.d. reëele getallen
\(R\)
waarvan de grafische voorstelling al de punten op een as zijn niet aftelbaar. Het \(\infty\)
aantal reëele getallen is groter dan het \(\infty\)
aantal natuurlijke getallen.Een eigenaardige eigenschap van niet aftelbare verzamelingen is dat een echte deelverzameling evenveel reëele getallen bevat dan
\(R\)
zelf b.v. in (-1,1) zitten evenveel reeële getallen als in \(R\)
zelf. een echt deel is dus even groot dan het geheel.Als men een vlak neemt dan krijgt men een nog grotere oneindigheid en in de ruimte een nog grotere. Gaat men over naar meer-dimensieonale ruimten dan krijgt men nog grotere oneindigheden. Blijkbaar zijn er oneindig aantal oneindigheden. (Transfiniete getallen).
Misschien zijn er mensen die verzamelingen kennen die een kardinaalgetal hebben, die groter is dan die van
\(R\)
.Beschouwen we nu de rij
\( dx,(dx)^2,(dx)^3,(dx)^4,...\)
. Het zijn allemaal infinitesimale getallen die naar 0 gaan en naarmate de macht groter wordt sneller.Ze worden echter nooit identisch 0. Hierop steunt o.a calculus. Voor mij voelt dit eigenaardig aan.Misschien is er een verband met bovenstaande oneindigheden.
Neem men de rij :
\(\frac{1}{dx},\frac{1}{(dx)^2},\frac{1}{(dx)^3},\frac{1}{(dx)^4},...\)
Is die rij misschien gelijk aan bovenstaande \(\infty\)-heden?
is de verzameling van alle deelverzamelingen van 
.
