Ik ben er een weekje terug toen ik ff niets te doen had toch uitgekomen.
Ten eerste viel me op dat voor x=1 de volgende gelijkheid geld:
\((\alpha-\beta) (x^{\alpha+\beta}-1)=(\alpha+\beta) (x^{\alpha}-x^{\beta})\)
Waneer we links en rechts de afgeleide nemen, geldt de gelijkheid nog steeds. Ook de tweede afgeleide bewaart de gelijkheid, en ik vermoed de derde en de vierde ook wel.
Kortom als we een n^de afgeleide hebben zodat :
\(\forall x>1:\frac{d^n}{d x^n}(\alpha-\beta) (x^{\alpha+\beta}-1)>\frac{d^n}{d x^n}(\alpha+\beta) (x^{\alpha}-x^{\beta})\)
terwijl:
voor x=1:
\(\forall i\leq n:\frac{d^i}{d x^i} (\alpha-\beta) (x^{\alpha+\beta}-1)=\frac{d^i}{d x^i} (\alpha+\beta) (x^{\alpha}-x^{\beta})\)
Dan zijn we er, immers we hebben de situatie waarin alle afgeleides gelijk zijn boven n, en waar de n^de afgeleide van links vervolgens groter blijft dan die van rechts. Kortom, na n keer terug te integreren blijft de ongelijkheid geldig.
Dus laten we eens links en rechts de afgeleide nemen( nu valt de 1 er aan de linkerkant uit). Dit geeft ons:
\((\alpha-\beta) (\alpha+\beta)(x^{\alpha+\beta-1})>(\alpha+\beta) (\alpha x^{\alpha-1}-\betax^{\beta-1})\)
Nu gaan we links en rechts delen met een functie die voor
\(x \geq 1\)
groter dan 0 is. Dit behoud de ongelijkheid. We kiezen hiervoor
\((\alpha+\beta) x^{\beta-1}\)
Nu krijgen we:
\((\alpha-\beta) (x^{\alpha})> (\alpha x^{\alpha-\beta}-\beta)\)
Maar nu zien we wederom een constante op rechts staan. Verder zien we ook in dat voor x=1 geld:
\((\alpha-\beta) (x^{\alpha})= (\alpha x^{\alpha-\beta}-\beta)\)
Kortom laten we nog een keer een afgeleide links en rechts nemen.
Hieruit volgt:
\((\alpha-\beta) \alpha x^{\alpha-1}> (\alpha-\beta) \alpha x^{\alpha-\beta-1}\)
Dit is equivalent met (links en rechts delen met
\((\alpha-\beta) \alpha x^{\alpha-\beta-1}\)
):
\(x^{2\beta}>1\)
Wat natuurlijk waar is voor x > 1.
samengevat
Voor x>1 geldt:
\(x^{2\beta}>1\)
dus ook
\((\alpha-\beta) \alpha x^{\alpha-1}> (\alpha-\beta) \alpha x^{\alpha-\beta-1}\)
Als we hem nu integreren en links en rechts gelijk stellen voor x=1(om de integratieconstante te bepalen), volgt uit het voorgaande dat zijn afgeleide voor x>1 groter dan nul is. Kortom voor x>1 geldt dan:
\((\alpha-\beta) (x^{\alpha})> (\alpha x^{\alpha-\beta}-\beta)\)
Dus ook geldt:
\((\alpha-\beta) (\alpha+\beta)(x^{\alpha+\beta-1})>(\alpha+\beta) (\alpha x^{\alpha-1}-\betax^{\beta-1})\)
Nogmaals integreren en gelijk stellen voor x = 1 geeft:
\((\alpha-\beta) (x^{\alpha+\beta}-1)>(\alpha+\beta) (x^{\alpha}-x^{\beta})\)
Waarbij wederom de afgeleide van links groter is dan rechts voor x>1. Kortom:
\((\alpha-\beta) (x^{\alpha+\beta}-1)>(\alpha+\beta) (x^{\alpha}-x^{\beta})\)
voor x>1.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.
.
