Laatste berichten
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
08:56
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 11
-
22:05
projectiel 7
-
21:48
Verschil tussen deze 2 vragen 4
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
eigenwaarden en dimensie nulruimte
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 997
eigenwaarden en dimensie nulruimte
Is het zo dat de dimensie van de nulruimte van een vierkante matrix gelijk is aan de multipliciteit van de eigenwaarde nul ? Zo ja, hoe kan dat ingezien of geïnterpreteerd worden?
-
- Berichten: 997
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
ik heb ondertussen zelf al ingezien dat het vrij triviaal is: de nulruimte is gewoon de verzameling van alle oplossingen van
alhoewel is dit wel een sluitende verklaring aangezien de multipliciteit van een eigenwaarde groter kan zijn de dimensie van zijn eigenruimte?
\((A- \lambda I)x=0\)
voor \(\lambda=0\)
alhoewel is dit wel een sluitende verklaring aangezien de multipliciteit van een eigenwaarde groter kan zijn de dimensie van zijn eigenruimte?
-
- Berichten: 24.578
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
Heb je het nu over de algebraïsche of meetkundige multipliciteit? Deze kunnen verschillend zijn. Er geldt inderdaad am >= mm.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 997
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
ik heb het over de algebraische multipliciteit van de eigenwaarde
dus als ik het ondertussen goed begrepen heb, dan geldt
"algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 0
"algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 0
ik vermoed dat dit komt omdat de nulruimte van een matrix A gelijk is aan de eigenruimte horende bij de eigenwaarde nul? (aangezien een matrix inverteerbaar is als nul geen eigenwaarde is of als hij van volle rang is)
ps: de term meetkundige multipliciteit ken ik niet, ik veronderstel dat dat neerkomt op de dimensie van de eigenruimte?
\(\lambda = 0\)
, dus als ik het ondertussen goed begrepen heb, dan geldt
"algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 0
\(\geq\)
dimensie van de nulruimte van de matrix" wel, maar "algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 0
\(=\)
dimensie van de nulruimte van de matrix" algemeen nietik vermoed dat dit komt omdat de nulruimte van een matrix A gelijk is aan de eigenruimte horende bij de eigenwaarde nul? (aangezien een matrix inverteerbaar is als nul geen eigenwaarde is of als hij van volle rang is)
ps: de term meetkundige multipliciteit ken ik niet, ik veronderstel dat dat neerkomt op de dimensie van de eigenruimte?
-
- Berichten: 792
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
Definitie :
De geometrische of meetkundige (je mag kiezen) multipliciteit van een eigenwaarde
Het is niet zo dat er altijd gelijkheid is :
De geometrische of meetkundige (je mag kiezen) multipliciteit van een eigenwaarde
\( \lambda\)
van A is de dimensie van de deelruimte der vectoren v die voldoen aan \(A v= \lambda v\)
Je kan bewijzen (en dat heeft Bert F hierboven gepost) dat de algebraïsche groter dan of gelijk aan de geometrische multipliciteit is.Het is niet zo dat er altijd gelijkheid is :
\(\left ( \begin{array}{c c} 0&1 0&0 \end{array}\right )\)
De karakteristieke vergelijking is \(x^2=0\)
en dus is nul een eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit twee. De geometrische multipliciteit van nul is echter 1.-
- Berichten: 24.578
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
Als aanvulling op hierboven, die deelruimte waarvan de dimensie de meetkundige multipliciteit is heet precies de eigenruimte horende bij die eigenwaarde.
Dit hangt trouwens nauw samen met de diagonaliseerbaarheid van de matrix, daarvoor moet voor elke eigenwaarde wél gelden dat mm = am, omdat je voor een nxn-matrix precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren nodig hebt,.
Dit hangt trouwens nauw samen met de diagonaliseerbaarheid van de matrix, daarvoor moet voor elke eigenwaarde wél gelden dat mm = am, omdat je voor een nxn-matrix precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren nodig hebt,.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 997
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
ok heb dit alles begrepen ondertussen, wederom bedankt allemaal !
Ik heb gegeven: "Als AP=PD met D diagonaal, dan moeten de niet-nul kolommen van P eigenvectoren zijn van A." Ik zie dit ook makkelijk in, dat is niet het probleem.
Wat ik me nu afvraag is dat als P geen nul kolommen heeft, kan ik dan besluiten dat A diagonaliseerbaar is? Of met andere woorden kan ik dan besluiten dat P van volle rang is?
hierover gaat echter mijn volgende vraag:Dit hangt trouwens nauw samen met de diagonaliseerbaarheid van de matrix, daarvoor moet voor elke eigenwaarde wél gelden dat mm = am, omdat je voor een nxn-matrix precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren nodig hebt,.
Ik heb gegeven: "Als AP=PD met D diagonaal, dan moeten de niet-nul kolommen van P eigenvectoren zijn van A." Ik zie dit ook makkelijk in, dat is niet het probleem.
Wat ik me nu afvraag is dat als P geen nul kolommen heeft, kan ik dan besluiten dat A diagonaliseerbaar is? Of met andere woorden kan ik dan besluiten dat P van volle rang is?
-
- Berichten: 792
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
Nee.
Neem als tegenvoorbeeld:
Neem als tegenvoorbeeld:
\(A=\left( \begin{array}{c c} 0 &1 0& 0\end{array}\right )\)
\(P=\left( \begin{array}{c c} 1 &1 0& 0\end{array}\right )\)
\(D=\left( \begin{array}{c c} 0 &0 0 &0\end{array}\right )\)
-
- Berichten: 24.578
Re: eigenwaarden en dimensie nulruimte
Zoals ik al eerder aangaf moet je voor diagonaliseerbaarheid voldoende lineair onafhankelijke eigenvectoren hebben, en in het voorbeeld van evilbu hierboven zijn ze allebei verschillend van de nulvector, maar wel lineair afhankelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
