[wiskunde] Limieten

Brihaspati

\((n^2+4/n^2)^n\)

Hoe bereken ik de limiet van n naar oneindig van deze functie? Ik begrijp dat je n kunt kwadrateren, maar welke machtswortel heb ik dan nodig om de functie hetzelfde te houden?

Jekke

Wat bedoel je met n kwadrateren? Ik zou gewoon 4/n² weglaten in de limiet en daarna is het evident dat de zaak divergeert.

Brihaspati

Ik moet hierbij de definitie van het getal e toepassen. Als ik n kwadrateer is de functie gelijk aan

\(e^4\)

. Omdat ik enkel de macht n gekwadrateerd heb moet er nog een x machtswortel voor het antwoord komen. Ik weet niet welke dat moet zijn. Het is eigenlijk een algebra vraag.

TD

Deze rij is divergent hoor, moet die macht niet 1/n zijn ofzo?

Brihaspati

Hier staat het antwoord uitgewerkt bij som 30b, maar welke machtswortel je moet gebruiken is onleesbaar:

http://www.okihome.nl/antwoord/antwoorden/...T7_H2_23_38.pdf

Het is een som waarbij dit gegeven is:

\(\lim_{n\to one\indig} {(1 + x/n)^n} = e^x\)

en daaruit kun je afleiden dat

\(\lim_{n\to one\indig} {(1 + x/(n^2))^n^2} = e^x\)

Jekke

Er staat de n-de machtswortel. Als je een macht in breukvorm kunt schrijven dan kun je de noemer in "machtswortelvorm" schrijven (sorr heb ff geen zin in latex). Zo is n=n²/n en bijgevolg a^n = a^(n²/n) = n-demachtswortel(a^n²)

TD

Brihaspati, ben je zeker dat die macht dan niet 1/n moet zijn ipv n?

De opgave zoals je ze nu geeft divergeert en lijkt dus ook niet op de voorbeelden die je geeft.

Jekke

TD! schreef:Brihaspati, ben je zeker dat die macht dan niet 1/n moet zijn ipv n?

De opgave zoals je ze nu geeft divergeert en lijkt dus ook niet op de voorbeelden die je geeft.

In het bestand opgegeven staat dat dit de opgave is.

\((\frac{n^2+4}{n^2})^n\)

TD

Ah oké, maar dat verandert de zaak natuurlijk, dat is dus:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{4}{{n^2 }}} \right)^n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left( {1 + \frac{4}{{n^2 }}} \right)^{n^2 } }}\)

Brihaspati

Ik snap de algebraïsche truc hier niet. Waarom moet je de n-de machtswortel nemen?

TD

Het mag omdat:

\(x^n = x^{\frac{{n^2 }}{n}} = \sqrt[n]{{x^{n^2 } }}\)

En het is nuttig omdat je onder die wortel dan een standaardlimiet van een e-macht krijg.

Brihaspati

De limiet van de volgende formule is gelijk aan e^4 = 4. Dit kun je makkelijk berekenen door de bovenstaande definitie van het getal e te gebruiken, maar je kunt de limiet ook op een andere manier berekenen. Met de definitie van de afgeleide, ookal is het wat omslachtiger:

Tweede methode:

\(\frac{n^2}{n+2}\ln(1+ 4/n)\)

\((\ln(1+ 4/n) -\ln 1)/(1/n)\)

Verder kom ik niet uit.

Hierbij is gegeven dat de limiet van n naar oneindig gelijk is aan:

\(n(1+ 1/n) - f(a) = f'(a)\)

TD

Eerlijk gezegd vind ik je laatste post wat onduidelijk, wat is nu precies de opgave?

Probeer het eens even opnieuw te formuleren

Brihaspati

Sorry, ik kreeg wat geknoei met latex.

Opgave:

Bereken

\( \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n+ 2} \ln(1 + 4/n)\)

Methode 1:

Je weet dat:

\(\lim_{n \to \infty} {(1 + x/(n^2))^n^2} = e^x\)

Dus in de opgave kun je één n uit de breuk halen en als macht van ln plaatsen, want n * log(b) a = log(b) a^n. Als je dit uitwerkt geeft dit dat de limiet van n naar oneindig van de functie gelijk is aan ln e⁴. De limiet is dus 4.

Methode 2:

Je weet dat

\( \lim_{n \to \infty} n(f(a+ 1/n) - f(a)) = f'(a)\)

Ik haal wederom één n uit de haken, maar dit keer mag ik de limiet dat naar het getal e^x gaat niet gebruiken. De bovenste regel moet ik nu toepassen.

\(\lim_{n \to \infty} n(\ln(1 + 4/n))\)

Begrijp je hoe het verder moet?

TD

En met welke methode zit je nu vast? Tot waar geraak je zelf?

Methode 3: stel y = 1/n en neem y -> 0. Gebruik dan dat ln(1+q) in eerste benadering gelijk is aan q, voor q naar 0. Dan is ln(1+4y) voor y gaande naar 0 in benadering 4y. Dus:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^2 }}{{n + 2}}\ln \left( {1 + \frac{4}{n}} \right) \to \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 4y} \right)}}{{y\left( {2y + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{4y}}{{y\left( {2y + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{4}{{2y + 1}} = 4\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Limieten

[wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten

Re: [wiskunde] Limieten