Les 2 : De quantummechanika van atomenHoofdkwantumgetalNa het oplossen van de energieniveaus van het waterstofatoom met behulp van de formule van Schrodinger komt men op de volgende energieniveaus:

waarin:
n = een geheel getal (n = 1, 2, 3,...).
De getallen n worden ook wel de hoofdkwantumgetallen geneoemd. Deze getallen zijn dezelfde als de kwantumgetallen n uit de theorie van Bohr.
Neven- of baanquantumgetalDit quantumgetal heeft betrekking op het baanimpulsmoment van het elektron. deze l kan alleen gehele waarden bezitten van 0 tot n-1. Als deze l bekend is kan het baanimpulsmoment L worden berekend:
Magnetisch quantumgetal mlDit quantumgetal is een vector en zegt iets over de richting van het impulsmoment van het elektron. de waarde van deze m kan alleen de gehele waarden hebben van -l tot +l.
SpinquantumgetalAls laatste is er het spinkwantumgetal, deze ms heeft de waarde +½ of -½. Het betreft hier gewoonde spin waar iedereen wel eens van heeft gehoord. Deze spin kwam voort uit praktiech werk. Telkens als er metingen werden gedaan kwamen uit de spectraallijnen van waterstof niet 1 maar twee lijnen die zeer dicht bij elkaar stonden. Eerst werd er gedacht dat het de richting van de draaing van het electron om de as was. Tegenwoordig weten we beter en heeft het te meken met de intrinsieke eigenschap dat twee elektornen niet in dezelfde toestant kunnen verkeren. Ongelukkigerwijs noemen we dit nog steeds spin. Uit het spinquantumgetal kan het spinimpulsmoment S worden berekend:

, waarin:
s = spin (½ voor elektronen)
Toestanden van het waterstofatoomEen waterstofatoom dat in de n = 3 verkeerd heeft 18 potentieele toestanden waarin het electron kan verkeren. Om aan te geven wat de toestand van een electron is worden letters gebruikt. Een waarde l = 0 heeft als lettersymbool s een waarde l = 1 heeft waarde p. De volgende letters zijn spdfghiklmnopq. Een elektron met als n = 3 en l = 2 wordt dan aangeduid met 3d-toestand.
SpectraallijnenAls elektronen nu van de ene toestand naar de andere toestand springen zullen ze een foton uitstralen of juist een foton opnemen. Deze overgangen moeten wel voldoen aan een bepaalde regel: er kunnen alleen overgangen optreden waarvan de l-waarden 1 eenheid verschillen :

Ook het proces ms=+1/2 --> ms=-1/2 is dus.
Niveauschema van waterstof, met daarin aangegeven de overgangen die voldoen aan de bovenstaande selectieregel:
De quantummechanika van het waterstof atoomZoals eerder is vermeld geeft de uitkomst van een schrodingervergelijking een kans aan of geheel juist: De kan een deeltje ergens tegen te komen is:

dV
waarin:
V = volume
De uitkomst van het waterstof atoom in de grondtoestand is:

waarin:

, ook wel de Bohr-straal genoemd.
De 100 geeft de quantumgetallen n, l en m
l weer.
Zoals je kan zien is de functie alleen afhankelijk van straal r.
De waarschijnlijkheidsdichtheid is nu:

Betrekken we hierop de normalisatievoorwaarde:

De funktie

is de kans het elektron te vinden over een volume dV. Over de gehele ruimte is de kans natuurlijk 1. Het is in dit geval beter de waarschijnlijkheid aan te geven als functie van r en niet als functie van V. Men krijgt dan de radiale waarschijnlijkheidsdichtheid, Pr:

Voor de grondtoestand van waterstof wordt dit dan:
De meest waarschijnlijke plaats is punt r
0, de Bohr-straal.
De aangeslagen toestand n = 2 voor waterstof:

Dit is alleen de r-afhankelijkheid van de functie.
Voor de waarschijnlijkheidsdichtheid:

De s schaal is altijd spherisch (1s, 2s, 3s, ...) het betreft hier de edelgassen. Andere oplossingen:



De bijbehorende plaatjes:
n=1, l=0, m=0:
n=2, l=1, m=0:
n=2, l=1, m=1 en n=2, l=1, m=-1:
n=3, l=2, m=0:
n=3, l=2, m=1:
n=3, l=2, m=2:
n=4, l=2, m=2:
Het periodiek systeem van de elementen.
De regels waar de quantumgetallen zich aan moeten houden dragen een grote bijdrage toe aan het periodiek systeem aan de elementen. Het uitsluitingsprincype van Pauli zegt dat twee elektronen niet in dezelfde quantumtoestand kunnen verkeren. Het kan dus niet zo zijn dat twee elektronen dezelfde kwantumgetallen n, l, m
l, m
s hebben.
Een paar voorbeelden:
Lithium met atoomgetal 3 (Z = 3) heeft drie elektronen met dus drie verschillende quantumgetallen. De elektronen hebben de neiging om in rust altijd de grondtoestand te bezitten. Voor lithium wordt dan de bezetting:
n l ml ms
1 0 0 1/2
1 0 0 -1/2
2 0 0 1/2
Helium heeft:
n l ml ms
1 0 0 1/2
1 0 0 -1/2
Natrium met Z = 11 heeft de n = 2 schil helemaal vol zitten en 1 elektron zit in de n = 3 schil.