Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Tibs

Hallo iedereen,

na het snelle antwoord op mijn vorige vraag heb ik hier opnieuw eentje. De opgave luidt:

§ 1 / (SIN(x)^4 + COS(x)^4)) dx (waarbij § het integraalteken is.)

Nu raak ik door substitutie van t= tg x tot de volgende integraal:

§ ( 1+x^2) / (1+x^4) dx

en bij deze zie ik toch niet direct een manier om die op te lossen.

Iemand een suggestie?

TD

De noemer heeft geen gehele nulpunten, maar kan je wel met wortels ontbinden:

\(1 + x^4 = \left( {x^2 + \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {x^2 - \sqrt 2 x + 1} \right)\)

Splitsen in partiële breuken levert dan:

\(\frac{{1 + x^2 }}{{1 + x^4 }} = \frac{1}{{2\left( {x^2 + \sqrt 2 x + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {x^2 - \sqrt 2 x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt 2 x + 1} \right)^2 + 1}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt 2 x - 1} \right)^2 + 1}}\)

En dat ziet eruit als een boogtangens...

Tibs

Maar natuurlijk, khad zover nog nie gedacht. Vre wel bedankt hoor. Je bent een engel !

TD

Veeltermbreuken zijn altijd primitiveerbaar, alleen heb je soms vervelende breuksplitsingen nodig (het valt hier al bij al nog mee natuurlijk).

zijtjeszotjes

over deze integralen gesproken..

http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Stran...lus/7.4-7.5.pdf

ik had een opmerking over dit boekje, pagina 2, de tekst in METHOD1 en METHOD2.

op een gegeven moment (bij de quick method), gaan ze vergelijking (1) vermenigvuldigen met (x-2). dan gaan ze x=2 subsitueren..

dat mag eigenlijk niet, want die vergelijking (1) is niet gedefineerd voor x=2, en toch werkt het trucje!?

evilbu

Dat is een mooie truc daar, die wel wat tegenvalt als je dubbele wortels en zo begint te krijgen.

Maar om je vraag te beantwoorden: Ze willen dat

\(\forall x\neq 0 , 2, -2:\)

\(\frac{A(x+2)x+B(x-2)x+C(x-2)(x+2)}{x(x+2)(x-2) }= \frac{3 x^2+8 x-4}{x(x+2)(x-2)}\)

dit is hetzelfde als :

\(\forall x\neq 0 2,-2\)

\(A(x+2)x+B(x-2)x+C(x-2)(x+2)= 3 x^2+8 x-4\)

Maar als dat laatst evoor oneindig veel x geldt (we sluiten maar een eindig aantal uit) moet dat VOOR ALLE x ook gelden :

\(\forall x:\)

\(A(x+2)x+B(x-2)x+C(x-2)(x+2)= 3 x^2+8 x-4\)

dit betekent dan weer dat

\(\forall x\neq 0,-2 \)

(lees deze voorwaarden heel goed!)

\(A+B\frac{x-2}{x+2} +C \frac{x-2}{x}=\frac{3 x^2+8 x-4}{x(x+2)}\)

merk op dat ik

\(x=2\)

niet heb moeten uitsluiten (analoog voor 0 en -2 )uiteraard

Ik vind dit wel een fijne vraag

, het is interessant om zulke details uit te pluizen

Tibs

Dank u zeer voor de uitleg, maar ik hebt het examen net achter de rug en het was prachtig. De integralen en afgeleiden waren een stuk makkelijker dan die opgaven, dus normaal ben ik erdoor

.

TD

Proficiat

zijtjeszotjes

Maar als dat laatst evoor oneindig veel x geldt (we sluiten maar een eindig aantal uit) moet dat VOOR ALLE x ook gelden :

mmm, ik vind het niet zo zeer overtuigend.. maar ik denk dat het simpler is dan ik dacht,

in de eerste vergelijking, geldt dat x niet gelijk mag zijn aan 0, -2 of 2.

in de tweede vergelijking geldt dat x niet gelijk mag zijn aan 0 of 2.

De tweede vergelijking kan je uit de eerste afleiden alleen door een implicatie (==>, dus een peil met 1 richting)

Ik dacht dat het ging om een equivalentie ( <==>) .. en dat is natuurlijk niet zo..

TD

Ik had het document niet bekeken omdat ik dacht dat het opgelost was.

Wat ze doen is vrij eenvoudig, alleen heb ik het nooit op die manier zo opgeschreven. Ik zou nog steeds uitgaan van het gelijkstellen van de tellers, zo heb je ook geen last van het niet gedefinieerd zijn van de breuken door de noemer. Je kan dan alles groeperen per macht van x om de coëfficiënten te identificeren en een stelsel te krijgen.

Wat je echter ook kan doen is het volgende: vermits het stelsel moet gelden voor alle x, moet het in het bijzonder gelden voor enkele goed gekozen waarden. Door deze te kiezen als nulpunten van de oorspronkelijke noemer, zullen er in het lid van de teller met onbepaalde coëfficiënten, termen wegvallen.

evilbu

Maar als dat laatst evoor oneindig veel x geldt (we sluiten maar een eindig aantal uit) moet dat VOOR ALLE x ook gelden :
mmm, ik vind het niet zo zeer overtuigend.. maar ik denk dat het simpler is dan ik dacht,

in de eerste vergelijking, geldt dat x niet gelijk mag zijn aan 0, -2 of 2.

in de tweede vergelijking geldt dat x niet gelijk mag zijn aan 0 of 2.

De tweede vergelijking kan je uit de eerste afleiden alleen door een implicatie (==>, dus een peil met 1 richting)

Ik dacht dat het ging om een equivalentie ( <==>) .. en dat is natuurlijk niet zo..

Hmm om te beginnen wat jij daar van mij quote is CORRECT en een zeer belangrijke eigenschap van veeltermen, het is gebaseerd op het feit dat een veelterm maar eindig veel nulpunten kan hebben.

Ik ga jouw redenering pas begrijpen als je mijn vergelijking ertussen zet (copy paste), hopeloos verwarrend als we gaan beginnen over "die vergelijking"

En laatste opmerking : pijl, niet peil

zijtjeszotjes

\(\forall x\neq 0 , 2, -2:\)

\(\frac{A(x+2)x+B(x-2)x+C(x-2)(x+2)}{x(x+2)(x-2) }= \frac{3 x^2+8 x-4}{x(x+2)(x-2)}\)

\(\forall x\neq 0 2,-2\)

\(A(x+2)x+B(x-2)x+C(x-2)(x+2)= 3 x^2+8 x-4\)

(!)

nu.. moet ik

gebruiken of

?? voor het verband tussen (!) en (!!)?

\(\forall x:\)

\(A(x+2)x+B(x-2)x+C(x-2)(x+2)= 3 x^2+8 x-4\)

(!!)

dezelfde vraag weer, moet ik

gebruiken of

?? voor het verband tussen (!!) en (!!!)

\(A+B\frac{x-2}{x+2} +C \frac{x-2}{x}=\frac{3 x^2+8 x-4}{x(x+2)}\)

(!!!) ?

trouwens, hoe heet die eigenschap van veeltermen? of waar staat er een bewijs van? ..thanks

evilbu

Ik weet niet van een speciale naam. Maar laat P een veelterm zijn die niet nul de nulveelterm is (dus niet alle coefficiënten zijn nul). Laat zijn graad

\(n>0 \)

zijn.

Als a een wortel is, kan je P schrijven als

\((x-a) Q\)

met Q een graad lager. Zo zie je inductief in dat een veelterm van graad n maar n verschillende nulpunten kan hebben.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)

Re: Integraal (x^2 + 1)/(x^4 + 1)