[toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Stef31

Beste studenten, docenten

Ik heb de volgende opgave :

Zoek de oppervlakte van het gebied begrensd door de kromme y = SQR(x + 1) en de rechten x + y + 1 = 0 en x - y - 1 = 0

Ik heb het zoi gedaan :

ik heb twee stelsels opgesteld:

y = SQR(x + 1)

y = -x - 1

SQR(x + 1) = -x - 1

y = -x - 1

(SQR(x + 1))² = (-x - 1)²

y = -x - 1

x + 1 = x² + x - 1

y = -x - 1

x + 1 - x² - x + 1 = 0

y = -x - 1

Mag je dat doen of hoe kan je dit het beste oplossen ik zoek de snijpunten van die twee rechten met die kromme

en de andere:

y = SQR(x + 1)

y = x + 1

TD

Je moet die twee stelsels oplossen ja.

Let wel, bij het kwadrateren voer je mogelijk oplossingen in, houd dus rekening met de voorwaarden.

\(\sqrt {x + 1} = - x - 1 \to x + 1 = x^2 + 2x + 1 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 0\)

De oplossing x = 0 vervalt echter (oorspronkelijk rechterlid is dan negatief), dus snijpunt is x = -1.

Zelfde voor het andere stelsel, je vindt het snijpunt op x = 3.

Morzon

ik kon me vroige post niet editten ( er ging iets verkeerd (eerste keer LaTeX hehe))

\(f(x)= \sqrt{x+1} \)

\(g(x)= x-1 \)

\(h(x)= -x-1 \)

bereken eerst de snijpunt van f(x) met g(x)

\(f(x)=g(x)= \sqrt{x+1} =x-1 \)

\(x+1=x^2-2x+1\)

\(x^2+x=x(x-3)=0\)

\(x=3\)

omdat domein

\(f(x)=x groter/of/gelijk/aan/-1\)

nu bereken snijpunt f(x) en h(x): en dat is x=-1

dus:

\(\int {f(x)-g(x)-h(x) dx}[tex]\int \sqrt{x+1} +2{ dx} \)

\(2/3(x+1)^(3/2)+2x=p(x) \)

o\ppervlakte is

\(p(-1)-p(3)\)

TD

Let op dat een deel van de oppervlakte onder de x-as ligt!

Morzon

oopS;(

Morzon

Let op dat een deel van de oppervlakte onder de x-as ligt!

daar heb ik toch rekening mee gehouden?

\(f(x)+c \)

en

\(g(x)+c\)

\(\int (f(x)+c)-(g(x)+c)dx=\int f(x)-g(x) dx\)

sorrt ik ben een beetje stoned, dus ik denk dat ik maar beter ff wegblijf

TD

Dat zou kunnen, je bericht was me eerlijk gezegd niet geheel duidelijk.

Misschien nuttig, hier een grafische weergave van het gebied:

Afbeelding

Safe

Ja, TD! heeft nu de grafiek bijgevoegd,

Mijn vraag aan Steven: is de bijbehorende grafiek niet gevraagd bij de oplossing?

TD

En zelfs als het niet expliciet gevraagd is, ik kan alleen maar aanraden zoiets dan te schetsen.

Een figuur 'zegt' veel meer dan een stel vergelijkingen:

- om te zien wat het integratiegebied is

- wat de grenzen zijn

- of het gebied onder de x-as duikt

- op welke manier je het gemakkelijkst je integraal kan opstellen

- ...!

Stef31

Ik heb hier een oefening uitgewerkt maar heb ik dat functievoorschrift juist opgesteld alsook de integraal want het komt niet echt juist uit:

Hier de uitgewerkte opgave:

Met vriendelijke groetjes

Jekke

De substitutie die je doet doe je correct, maar vanaf de voorlaatste regel gaat het fout (al kom je wel de juiste uitkomst uit

). Het lijkt alsof je niet weet dat

\(u^{-1}=\frac{1}{u}\)

en dat

\(\frac{u}{u}=1\)

? Nog iets belangrijks dat je fout doet: als je substitueerd moet je de grenzen (juist) aanpassen en een bepaalde integraal (=met grenzen) kan nooit een onbepaalde integraal (=zonder grenzen) worden. Op het einde van de voorlaatste regel klopt het weer allemaal, maar moet je toch sterk opletten met je notatie! Die is daar heel verwarrend, met name je gebruik van haakjes. Hier zouden docenten ook wel eens over kunnen struikelen.

\(\int_0^2 \left( \frac{2-x}{2+x} \right) dx = \int_2^4 \frac{-u+4}{u} du = - \int_2^4 du + 4\int_2^4 u^{-1} du = -[4-2] + 4[\ln(4)-\ln(2)] = -2 + 4\ln(2)\)

Stef31

Hallo

Ik heb nog twee oefeningen uitgewerkt en wil weten als ze juist zijn.

Oefening 2

=======

Oefening 3

=======

Je moet twee krommen tekenen een sin(x) en een cos(x) en de grenzen denk ik dat ze gegeven zijn [0,2PI] in de opgave en ze vragen de oppervlakte te berekenen moet ik dan de integraal van de sin(x) en cos(x) afzonderlijk berekenen snap echt die opgave niet

Gegeven:

-----------

y = sin(x)

y = cos(x)

in [0,2PI]

sin(x) >= cos(x)

Gevraagd

-----------

de S

Oefening 4

=======

Gegeven

----------

y = 2 / x

y = x - 1

y = x + 1

Gevraagd

-----------

S

Oplossing :

=======

f(x) = 2 / x

g(x) = x + 1

h(x) = x - 1

Eerste stelsel:

f(x) = g(x) = 2 / x = x + 1

x² + x + 2 = 0

(x + 1)(x + 1)

Tweede stelsel:

f(x) = h(x) = 2 / x = x - 1

x² - x - 2 = 0

(x - 1)(x + 1)

Is dat juist of heb ik hier iets verkeerd gedaan?

TD

Bij oefening 2 klopt de schets van je integratiegebied niet. Tussen x = 1 en x = 2 hoort het gebied tussen y = ln(x) en de x-as niet bij het te integreren gebied, S2 is dus iets te groot in jouw schets. Je opsplitsing klopt wel, je integreer van x = 0 tot x = 1, namelijk y = e^(x/2); en dan van x = 1 tot x = 2, ook y = e^(x/2) maar verminderd met ln(x) op dat interval.

Oefening 3: hoe ik het begrijp moet je de oppervlakte vinden tussen sin(x) en cos(x), op het interval [0,2pi] waarin sin(x) boven cos(x) ligt.

Zoek dus eerst de snijpunten op dat interval en ga dan na voor welk interval sin(x) > cos(x), maak dan een duidelijke schets.

TD

f(x) = g(x) = 2 / x = x + 1

Let een beetje op met deze notatie, dit klopt niet. Als je van het tweede gelijkheidsteken een equivalentieteken maakt is het in orde.

Hoe kom je daarna aan allemaal positieve termen? Vermenigvuldig alles eerst met x:

\(\frac{2}{x} = x + 1 \Leftrightarrow 2 = x^2 + x \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2\)

Probeer de twee andere snijpunten met x-1 zelf te vinden, je uitwerking klopt niet.

Maak dan ook weer een duidelijke tekening van het integratiegebied.

EvilBro

Beste Stefke29,

ik sla je posts op dit forum nu al een tijdje gade en ik vraag me af of de fouten die je maakt te wijten zijn aan slordigheid of aan gebrek aan inzicht in de stof. Als het slordigheid is dan moet je jezelf eens flink op de vingers tikken. Fouten van de volgende soort maak je namelijk te vaak:

\(\int_0^1 (e^{\frac{x}{2}} - \ln(x) ) dx = \left[ e^1 - \ln(1) - e^{\frac{x}{0}} - \ln(0) \right]_0^1\)

Fouten even op een rijtje:

- de primitieve is volgens jou gelijk aan de functie zelf (is niet zo).

- functie zelf is verkeerd gekozen in het bekeken gebied (ln(x) zit daar helemaal niet bij in 0 tot 1).

- je deelt door 0.

- je vult in, maar aan de andere kant suggereert je notatie dat je dat nog gaat doen.

Als het probleem is dat je slordig werkt, maar het verder wel snapt, dan moet je misschien langzamer werken of zo.

Is het probleem echter dat je niet inziet wat je fout doet in het hierboven gegeven voorbeeld dan is misschien een andere manier van aanpak nodig. Ik suggereer de volgende aanpak (aan de hand van de vierde opgave):

1. Maak een schets. Doe dit zodat je inzicht krijgt in wat het oppervlak is dat je moet vinden.

2. Deel het oppervlak dat je zoekt op in gebieden zodat je in elk gebied slechts te maken hebt met twee functies.

Na deze twee stappen zou je de volgende figuur moeten hebben:

Afbeelding

3. Vind de grenzen van de gebieden. De schets helpt hierbij al een beetje omdat die al een idee geeft van waar de grenzen ongeveer zullen liggen. We hebben hier te maken met 3 gebieden, dus moeten we vier grenzen vinden. De meest linker 'grens' is het snijpunt van y = x+1 en y = 2/x:

\(x+1 = \frac{2}{x} \rightarrow x(x+1) = 2 \rightarrow x^2 + x = 2 \rightarrow x^2 + x - 2 =0 = (x+2)(x-1) \rightarrow x=-2, x=1 \)

Je vindt dus twee oplossingen. De x=-2 oplossing was in dit geval de oplossing die je zocht. De x=1 oplossing is een andere grens. Die wilde je toch ook hebben, dus dat is mooi meegenomen.

Je kan nu de andere twee grenzen ook berekenen met behulp van de juiste functies. Je zou ook op basis van symmetrie kunnen zeggen dat deze grenzen wel bij x=-1 en x=2 moeten liggen.

4. Stel de integralen voor de gebieden op. Algemeen: de integraal van de bovenste functie in je schets min de onderste functie in je schets in een gegeven gebied. Dus voor het meest linker rode gebied:

\(\int_{-2}^{-1} (x+1) - (\frac{2}{x}) dx\)

Het groene gebied:

\(\int_{-1}^{1} (x+1) - (x-1) dx\)

Het rechter rode gebied:

\(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x})-(x-1) dx\)

Ook hier zou je gebruik kunnen maken van symmetrie door op te merken dat de twee rode gebieden hetzelfde oppervlak hebben. Dit volgt ook uit de integralen als je t = -x substitueert:

\(\int_{-2}^{-1} (x+1) - (\frac{2}{x}) dx = \int_{2}^{1} (-t+1) - (\frac{2}{-t}) d(-t) = -\int_{2}^{1} - (t-1) + (\frac{2}{t}) dt = \int_{1}^{2} (\frac{2}{t}) - (t-1) dt\)

5. Los de integralen op. Controleer altijd even of je primitieve klopt door deze te differentieren. Bijvoorbeeld:

\(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x})-(x-1) dx = \int_{1}^{2} (\frac{2}{x}) dx - \int_{1}^{2} (x-1) dx = [2 \ln(|x|)]_1^2 - [\frac{x^2}{2}-x]_1^2 = (2 \ln(2) - 2 \ln(1)) - (\frac{2^2}{2}-2 - \frac{1^2}{2}+1)\)

\( = 2 \ln(2) - \frac{1}{2} \)

Te controleren: is de afgeleide van 2.ln(x) inderdaad 2/x? En is de andere afgeleide gelijk aan het andere deel?

Waarom zou je dit nu controleren? Omdat je hierna waarden in gaat vullen en als er dan iets anders uitkomt dan je had verwacht dan kun je niet meteen zien of dit komt doordat je de verkeerde primitieve gebruikt of omdat je de waarden verkeerd hebt ingevuld.

6. Tel de gevonden oppervlaktes op.

Het is ook handig om te herkennen dat je bepaalde oppervlaktes op verschillende manieren kan vinden. Zo is het rode oppervlak ook te vinden door 2/x te integreren over 1 tot 2 en er dan het driehoekje onder y=x-1 af te halen (en het oppervlak van een driehoek veronderstel ik als bekend).

Ik hoop dat je hier wat aan hebt. Probeer deze stappen eens met opgave 3.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

[toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen

Re: [toegepaste wiskunde] Oppervlakte met integralen