\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}\theta d\theta=\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}\frac{\pi}{2}\)
waarbij n een natuurlijk getal is.Laatste berichten
-
19:19
Vogels in de stad zijn goede klussers 1
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
19:07
wig 1
-
18:15
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 8
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Goniometrische integraal
-
- Berichten: 3.330
Goniometrische integraal
Toon aan:
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Goniometrische integraal
Te bewijzen:kotje schreef:Toon aan:
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}\theta d\theta=\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}\frac{\pi}{2}\)waarbij n een natuurlijk getal is.
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}(\theta) d\theta=\frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=2}^n (2i)}\frac{\pi}{2}\)
Bewijs via volledige inductie:Stap 1: Controleer voor n=1.
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2}(\theta) d\theta= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(2 \theta) d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2 \theta)}{4} \right]_0^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} = \frac{\prod_{i=1}^1 (2i-1)}{\prod_{i=2}^1 (2i)}\frac{\pi}{2}\)
Klopt dus voor n=1. Stap 2: Stel dat het klopt voor n, klopt het dan ook voor n+1?
\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n+2}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(\theta) \sin^{2n}(\theta) d\theta =\int_0^\frac{\pi}{2} (1-\cos^2(\theta)) \sin^{2n}(\theta) d\theta\)
\( = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(\theta) \sin^{2n}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \int_0^\frac{\pi}{2} (\cos(\theta))(\cos(\theta) \sin^{2n}(\theta)) d\theta\)
Partieele integratie:\(= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \left( \left[ \cos(\theta) \frac{\sin^{2 n+1}(\theta)}{2 n + 1} \right]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} -\sin(\theta) \frac{\sin^{2 n+1}(\theta)}{2 n + 1} d\theta \right)\)
\(= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \left[ \cos(\theta) \frac{\sin^{2 n+1}(\theta)}{2 n + 1} \right]_0^\frac{\pi}{2} - \frac{ 1}{2 n + 1} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta\)
\(= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta - \frac{ 1}{2 n + 1} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta\)
Gelijke integralen samenvoegen:\((1 + \frac{1}{2n + 1}) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta\)
omdat:\((1 + \frac{1}{2n + 1}) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = (\frac{2 n + 1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 1}) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \frac{2 n + 2}{2n + 1} \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta\)
geldt dus:\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2 (n+1)}(\theta) d\theta = \frac{2n + 1}{2n + 2} \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n}(\theta) d\theta = \frac{(2(n+1)-1)}{2(n+1)} \frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=2}^n (2i)}\frac{\pi}{2}\)
\(= \frac{\prod_{i=1}^{n+1} (2i-1)}{\prod_{i=2}^{n+1} (2i)}\frac{\pi}{2}\)
Klopt dus voor n+1 als n klopt. Kortom:\(\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2n}(\theta) d\theta=\frac{\prod_{i=1}^n (2i-1)}{\prod_{i=2}^n (2i)}\frac{\pi}{2}\)
is bewezen via volledige inductie (appeltje eitje, niet?
).-
- Berichten: 3.330
Re: Goniometrische integraal
Zeer goed gedaan Evilbro. Ik dacht ook aan volledige inductie maar ik kwam er langs geen kanten uit in mijn berekeningen. Dank je in ieder geval voor je overzichtelijke berekeningen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
