[Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

A.Square

x=1-2p-q

y=2-p-2q

z=3-3p-q

Schrijf in de vorm van: ...x + ...y + ...z = ....

Waarin geen p of q meer voorkomen.

Ik ben met het optellen van vergelijkingen aan de gang gegaan, maar ik houd steeds ergens een p of een q over.

Nb: Dit stelsel is afkomstig uit een vraagstuk lineaire algebra. Als nu blijkt dat dit niet opgelost kan worden betekent het dat ik een fout heb gemaakt in de totstandkoming ervan, en dan zal ik het volledige vraagstuk posten.

Edit:

Ik heb er nog zo één:

x=1+p

y=p

z=1+p-q

EvilBro

A.Square schreef:x=1-2p-q

y=2-p-2q

z=3-3p-q

Dus:

\(\left[ \begin{array}{c} x y z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & -1 2 & -1 & -2 3 & -3 & -1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 1 p q \end{array} \right] = \)

Tweede kolom vegen:

\(\left[ \begin{array}{c} x - 2 y y z - 3 y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -3 & 0 & 3 2 & -1 & -2 -3 & 0 & 5 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 1 p q \end{array} \right] = \)

Tussen stap om derde kolom makkelijk te maken:

\(\left[ \begin{array}{c} 5 (x - 2 y) y 3(z - 3 y) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -15 & 0 & 5 2 & -1 & -2 -9 & 0 & 15 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 1 p q \end{array} \right] = \)

Derde kolom vegen:

\(\left[ \begin{array}{c} 5 (x - 2 y) y 3(z - 3 y) - 5 (x - 2 y) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} -15 & 0 & 5 2 & -1 & -2 6 & 0 & 0 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} 1 p q \end{array} \right] = \)

Dus is in ieder geval een oplossing:

\(-5 x + y +3 z = 6\)

Ik heb er nog zo één:

x=1+p

y=p

z=1+p-q

Succes!

A.Square

Wauw, badankt!

Ik ben kennelijk nog niet zo bedreven in het vegen van matrices.

Ik ben er mee geholpen!

Safe

Met analytische mtk is er nog een mooie manier.

TD

Alternatief: neem de coëfficiënten van x,y,z respectievelijk a,b,c:

\(\begin{array}{l} ax + by + cz = a\left( {1 - 2p - q} \right) + b\left( {2 - p - 2q} \right) + c\left( {3 - 3p - q} \right) = a - 2ap - aq + 2b - bp - 2bq + 3c - 3cp - cq = \left( {a + 2b + 3c} \right) - \left( {2a + b + 3c} \right)p - \left( {a + 2b + c} \right)q \end{array}\)

Als je dit onafhankelijk van p en q wil, moeten die twee factoren 0 zijn. Dit levert:

\(\left{ \begin{array}{l} 2a + b + 3c = 0 a + 2b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {a,b,c} \right) = k\left( { - \frac{5}{3},\frac{1}{3},1} \right),k \in \rr\)

De constante term a+2b+3c is dan 2k, zodat de algemene oplossing voldoet aan:

\( - \frac{{5k}}{3}x + \frac{k}{3}y + kz = 2k\)

Neem k = 3 en je hebt het voorbeeld van EvilBro.

A.Square

Ik heb met de hulp van Evilbro het vraagstuk tijdig en correct in kunnen leveren.

Ik ga nog wel door met de alternatieve oplossingen. Puur uit interesse.

TD! schreef:(...)

Als je dit onafhankelijk van p en q wil, moeten die twee factoren 0 zijn. Dit levert:

\(\left{ \begin{array}{l} 2a + b + 3c = 0 a + 2b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {a,b,c} \right) = k\left( { - \frac{5}{3},\frac{1}{3},1} \right),k \in \rr\)
(...)

Ik snap wat je aan het doen bent en waar het goed voor is. Ik ken alleen de techniek niet die je hier gebruikt: Twee vergelijkingen, 3 onbekenden. Daar is geen eenduidige oplossing voor, dus voeg je een factor k toe. Mag ik vragen hoe?

Excuses voor mijn gebrekkige kennis van lineaire algebra, maar na slechts twee colleges heb ik nog een lange weg te gaan.

TD

Als je n (lineair onafhankelijke) vergelijkingen hebt met n+1 onbekenden, dan heb je één onbekende "teveel" voor een unieke oplossing, je zal oneindig veel oplossingen hebben. Je kan dan een vrije parameter invoeren, hier bij mij k. Eenvoudig voorbeeld:

\(2x - y = 3\)

Een (uiteraard lin. onafh.) vergelijking, twee onbekenden. Hier voldoen oneindig veel (x,y) koppels aan. Kies bijvoorbeeld x = t, en los y op in functie van t:

\(2t - y = 3 \Leftrightarrow y = 2t - 3\)

We hadden x = t en voor y vinden we dan overeenkomende y = 2t-3, dus elk koppel van de vorm (t,2t-3) is een oplossing. De oplossingenverzameling V is dan:

\(V = \left{ {\left. {\left( {t,2t - 3} \right)} \right|t \in \rr } \right}\)

Zo vind je nu voor elke reëel waarde van t, een nieuwe oplossing. In mijn voorbeeld was (zonder tussenstappen) z gelijk gekozen aan k, en x,y opgelost in functie daarvan.

Algemener: met n (lineair onafhankelijke) vergelijkingen hebt met n+k onbekenden, dan kan je k vrije parameters kiezen.

A.Square

Ik snap hem!

Hartelijk dank

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

[Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel

Re: [Wiskunde] Vergelijkingenstelsel