Ik moet met behulp van inductie een formule vinden voor de som van de 3-de machten, dus...
3+3^2+...+3^n-1+3^n
De formule moet een 4-de graads functie zijn...
Laatste berichten
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
00:37
Rotatie van het heelal 24
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Som 3-de machten
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 5.679
Re: Som 3-de machten
Ik weet niet of je met behulp van inductie zo'n formule kunt vinden. Als je eenmaal een idee hebt kun je het met inductie waarschijnlijk wel bewijzen.
Overigens betwijfel ik of er een 4e-graads functie uit komt, lijkt me eerder dat het een exponentiële functie wordt (dus met ietsn i.p.v. n4).
Overigens betwijfel ik of er een 4e-graads functie uit komt, lijkt me eerder dat het een exponentiële functie wordt (dus met ietsn i.p.v. n4).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 5.679
Re: Som 3-de machten
Toevoeging - ik dacht dat je "volledige inductie" als bewijsvorm bedoelde. Je kunt wel een inductieve (of recursieve) formule voor deze rij sommen opstellen. Als dat eenmaal lukt, heb je vervolgens hier ook vast iets aan.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Som 3-de machten
Een som van derde machten is:Klaas-Jan schreef:Ik moet met behulp van inductie een formule vinden voor de som van de 3-de machten, dus...
3+3^2+...+3^n-1+3^n
De formule moet een 4-de graads functie zijn...
\(\sum_{i=1}^n i^3=1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3\)
En dat levert een vierde-graads functie in n op.-
- Berichten: 42
Re: Som 3-de machten
Hmmz ik denk :
stel 3+3²+3³+...+3^n = S
vermenigvuldig beide leden met ( 1-3)
dan heb je (3-3^(n+1))=S.(1-3)
dus S = (3-3^(n+1))/(1-3)= (3-3^(n+1))/2
das een formule voor die som !
(srry ik kan nog niet werken met die latex codes, khoop daje der aan uitkan ... )
stel 3+3²+3³+...+3^n = S
vermenigvuldig beide leden met ( 1-3)
dan heb je (3-3^(n+1))=S.(1-3)
dus S = (3-3^(n+1))/(1-3)= (3-3^(n+1))/2
das een formule voor die som !
(srry ik kan nog niet werken met die latex codes, khoop daje der aan uitkan ... )
-
- Berichten: 5.679
Re: Som 3-de machten
Uhm, de TS had het volgens mij overEn dat levert een vierde-graads functie in n op.
\(\sum_{i=1}^n 3^i\)
en niet \(\sum_{i=1}^n i^3\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 3.330
Re: Som 3-de machten
Ik weet niet wat Klaas-Jan bedoelt. Maar ik zie een eindige meetkundige reeks met reden 3. De formule om de som te berekenen vindt ge hier.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 5.679
Re: Som 3-de machten
Eh Safe je hebt wel gelijk, een "som van derde machten" is wat jij schreef, de TS bedoelde zo te zien "som van machten van 3".
mmaster, jouw antwoord klopt bijna, 1-3 is -2, niet 2
mmaster, jouw antwoord klopt bijna, 1-3 is -2, niet 2
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 42
Re: Som 3-de machten
mmaster, jouw antwoord klopt bijna, 1-3 is -2, niet 2
Ja, een typfoutje gebeurt al eens ... 8)
-
- Berichten: 175
Re: Som 3-de machten
\(\sum_{i=1}^n i^3=1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3\)
Dat is precies wat ik moet bewijzen... Dus eerst formule bepalen (maar ik moet wel weten hoe) en dan met volledige inductie bewijzen... Sorry als ik onduidelijk was...
-
- Berichten: 5.679
Re: Som 3-de machten
Is er al van te voren gegeven dat er een vierdegraads functie uit komt?
Want in dat geval kun je gewoon zeggen: f(n) = an4+bn3+cn2+dn+e en los je 5 lineaire vergelijkingen met de 5 onbekende coëfficiënten op door 5 uitkomsten in te vullen.
Want in dat geval kun je gewoon zeggen: f(n) = an4+bn3+cn2+dn+e en los je 5 lineaire vergelijkingen met de 5 onbekende coëfficiënten op door 5 uitkomsten in te vullen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 24.578
Re: Som 3-de machten
Zoek je naar iets analoogs als voor de som van kwadraten:
(1+2+...+n)² = 1³+2³+...+n³ (*)
We hebben namelijk ook voor de som van de eerste n natuurlijke getallen:
\(\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\)
Dit is gemakkelijk af te leiden als je weet dat de volgende relatie geldt:(1+2+...+n)² = 1³+2³+...+n³ (*)
We hebben namelijk ook voor de som van de eerste n natuurlijke getallen:
\(\sum\limits_{i = 1}^n {i } = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Zodat we vinden, via (*):\(\sum\limits_{i = 1}^n {i^3 } = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n i } \right)^2 = \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2 = \frac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }}{4}\)
Nu kan je eventueel, met inductie, de correctheid ("nog eens") bewijzen."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 792
Re: Som 3-de machten
De formule voor de som van derdemachten is het resultaat van Nichomachus. Het is bijzonder mooi.
Hoe je die formule moet vinden? Wel.... het is een 4-de graads functie. Dat werd je gegeven als tip.
Die ziet er dus zo uit
n=0 -->f=0
n=1 -->f=1
n=2 -->f=9
n=3--> f=36
n=4-->f=100
Dat geeft je vijf vergelijkingen, die lineair zijn. Los die op en je vindt a,b,c,d,e
Als je dat allemaal doet , zou je
Een scherpe lezer merkt echter op dat dit hetzelfde is als
Hoe je die formule moet vinden? Wel.... het is een 4-de graads functie. Dat werd je gegeven als tip.
Die ziet er dus zo uit
\( f=a n^4+b n^3+c n^2+ d n+ e\)
Nu weet je dat je hebtn=0 -->f=0
n=1 -->f=1
n=2 -->f=9
n=3--> f=36
n=4-->f=100
Dat geeft je vijf vergelijkingen, die lineair zijn. Los die op en je vindt a,b,c,d,e
Als je dat allemaal doet , zou je
\(f=\frac{n^4+2 n^3+n^2}{4}\)
moeten uitkomenEen scherpe lezer merkt echter op dat dit hetzelfde is als
\( (\frac{n(n+1)}{2})^2=(1+\ldots+n)^2\)
Dus zoals ik al zei, een verassend eenvoudig en mooi resultaat, en dan ook (terecht) als "mooiste formule" beschouwd door velen. -
- Berichten: 792
Re: Som 3-de machten
Jazeker.
We willen bewijzen dat
het is waar voor , dat zie je snel
stap 2 :
stel de eigenschap is correct voor
0^3+1^3+ldots+n^3+(n+1)^3=(0^3+1^3+ldots+n^3)+(n+1)^3=
left(frac{n(n+1)}{2}right)^2+(n+1)^3=(n+1)^2 ( frac{n^2}{4}+(n+1))=frac{(n+1)^2 (n^2+4 n+4)}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
We willen bewijzen dat
\(0^3+1^3+\ldots +n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
stap 1 :het is waar voor
\( n=0 \)
, dat zie je snelstap 2 :
stel de eigenschap is correct voor
\(\ngeq 0\)
we bewijzen dat het ook zo is voor\((n+1)\)
\(0^3+1^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=(0^3+1^3+\ldots+n^3)+(n+1)^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=(n+1)^2 ( \frac{n^2}{4}+(n+1))=\frac{(n+1)^2 (n^2+4 n+4)}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\)
de formule klopt dus ook voor \(n+1\)
EDIT : wat is er mis met mijn laatste code? ik heb die hierboven uiteengerokken, maar dit was mijn oorspronkelijke die NIET werkte : 0^3+1^3+ldots+n^3+(n+1)^3=(0^3+1^3+ldots+n^3)+(n+1)^3=
left(frac{n(n+1)}{2}right)^2+(n+1)^3=(n+1)^2 ( frac{n^2}{4}+(n+1))=frac{(n+1)^2 (n^2+4 n+4)}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}
