Kleinste gemene veelvoud

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 110

Kleinste gemene veelvoud

Neem a,b
\(\in\)
\($\mathbb{Z}$\)
. Er is een m
\(\in\)
\($\mathbb{N}$\)
, zodat a is een deler van m en b is een deler van m. Bovendien is er een g
\(\in\)
\($\mathbb{N}$\)
, zodat a is een deler van g en b is een deler van g. Bewijs nu dat m is een deler van g. (m= kleinste gemene veelvoud).

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Kleinste gemene veelvoud

Gebruik jij nu de letter m voor twee verschillende zaken??

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Kleinste gemene veelvoud

Moet het niet zijn a,b
\(\in N\)
.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 32

Re: Kleinste gemene veelvoud

-1 * -6 = 6 :)

Berichten: 110

Re: Kleinste gemene veelvoud

Nee hoor het klopt echt. Of kan het niet?

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Kleinste gemene veelvoud

Nee hoor het klopt echt. Of kan het niet?


Kijk alsjeblieft je opgave es na. Het is echt onduidelijk. Je opgave moet glashelder zijn.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Kleinste gemene veelvoud

Volgens mij is bedoeling van de opgave de volgende: gegeven
\(a,b \in \mathbb{N}\)
en
\(m = lcm(a,b)\)
en zij
\(g \in \mathbb{N}\)
z.d.d.
\(g|a\)
en
\(g|b\)
. Te bewijzen:
\(m|g\)
.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Kleinste gemene veelvoud

Volgens mij is de opgave:
\(a,b\in N , m kle\inste gemeen \veelvoud (a,b) zij g\in N en a\vert g en b\vert g dan m\vert g\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 110

Re: Kleinste gemene veelvoud

Ja, inderdaad! Het was misschien onduidelijk, maar dat is het precies... Wie helpt me? Ik moet dus bewijzen dat m een deler is van g...

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Kleinste gemene veelvoud

Bewijsjes als deze zijn echt mooi. :wink:

Stel eens dat m geen deler is van g, wel we hebben de Euclidische deling :
\(g=m q +r\)
waarbij r een rest is met
\( 0<r<m\)
Nu weten we dat g en m (dat heb jijzelf aangenomen) veelvouden zijn van en b.

Daar
\( r= g- mq\)
is het dan ook onmiddellijk duidelijk dat a en b eveneens delers zijn van r

Maar..... m was het kleinste gemeen veelvoud, en we weten :
\( 0<r<m\)
Strijdigheid dus!

Berichten: 110

Re: Kleinste gemene veelvoud

Leuk bewijs, maar kan het niet op andere manier? Ik vind dit wel erg kort...

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Kleinste gemene veelvoud

Leuk bewijs, maar kan het niet op andere manier? Ik vind dit wel erg kort...
In "mijn tijd" (ik ben oud= 21 ) waren we blij als een bewijs kort is. Een bewijs is juist of het niet, kortheid is mooi meegenomen maar niet altijd mogelijk.

Een bewijs dat juist is kan je moeilijk verbeteren door het langer te maken? :)

Berichten: 110

Re: Kleinste gemene veelvoud

Ik vind het maar een onduidelijk bewijs. Misschien kan kotje meer duidelijkheid geven? Hij formuleerde namelijk heel scherp...

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Kleinste gemene veelvoud

Ik vind het maar een onduidelijk bewijs. Misschien kan kotje meer duidelijkheid geven? Hij formuleerde namelijk heel scherp...
Je vindt het "maar een onduidelijk bewijs". Ja, het spijt me hoor, kan je zeggen waarmee je niet akkoord bent, welke notatie je niet goed vindt, .... :)

Berichten: 7.068

Re: Kleinste gemene veelvoud

Ik vind het maar een onduidelijk bewijs.
Het bewijs in kwestie is een bewijs uit het ongerijmde. Je begint met een veronderstelling (g is geen veelvoud van m) en werkt daarna verder totdat je een tegenstrijdigheid tegenkomt (g is wel een veelvoud van m). De oorspronkelijke veronderstelling leidt dus tot een tegenstrijdigheid. De oorspronkelijke veronderstelling kan dus niet correct zijn, dus moet het tegenovergestelde waar zijn (g is een veelvoud van m).

Reageer