Change-of-coordinates-matrix

Wiskunde

Ik moet van de volgende matrix de change-of-coordinates-matrix vinden, zowel van B naar B' als van B' naar B. Kan iemand me uitleggen hoe ik te werk moet gaan. Alleen aan een antwoord heb ik helaas niets, omdat ik het dan waarschijnlijk nog niet begrijp.

B: ([1,0,1],[1,1,0],[0,1,1])

B': ([0,1,1],[1,1,0],[1,0,1])

(in driedimensionale ruimte)

Safe

Wiskunde schreef:Ik moet van de volgende matrix de change-of-coordinates-matrix vinden, zowel van B naar B' als van B' naar B. Kan iemand me uitleggen hoe ik te werk moet gaan. Alleen aan een antwoord heb ik helaas niets, omdat ik het dan waarschijnlijk nog niet begrijp.

B: ([1,0,1],[1,1,0],[0,1,1])

B': ([0,1,1],[1,1,0],[1,0,1])

(in driedimensionale ruimte)

Ga eens uit van BC=B', maw we veronderstellen het bestaan van een matrix C die voldoet aan deze verg. Maar dan moet gelden:

\(C=B^{\inv}B'\)

Nu wil ik eerst weten of je allemaal begrijpt wat hierboven staat!

Wiskunde

Nee, ik begrijp het eerlijk gezegd niet. Maar het gaat er hoofdzakelijk om dat ik weet welke bewerking ik moet uitvoeren, om tot het juiste antwoord te komen.

EvilBro

Wiskunde schreef:B: ([1,0,1],[1,1,0],[0,1,1])

B': ([0,1,1],[1,1,0],[1,0,1])

Mag ik aannemen dat dit de twee basissen van je ruimtes zijn? En dat je nu opzoek bent naar de matrix C die de representatie van een vector in de ene ruimte omzet naar de representatie in de andere ruimte?

Wiskunde

Ja, inderdaad dat is de vraag, maar hoe doe je dat?

TD

De overgensmatrix M heeft in de kolommen, de beelden van de basisvectoren in de ene basis ten opzichte van de andere basis.

Wiskunde

Oke, maar hoe hoe bepaal ik matrix C, zoals EvilBro zei...

EvilBro

Een mogelijke aanpak:

Stel dat je een vector (a,b,c) hebt in stelsel B dan kun je deze vector omrekenen naar een vector in \(\rr^3\) met:

\(a \cdot (1,0,1) + b \cdot (1,1,0) + c \cdot (0,1,1)\)

Als je nu een matrix maakt met in de kolommen de basisvectoren dan kun je deze zelfde vector berekenen met:

\(\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right] = A \cdot \left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right]\)

(A is een verkorte schrijfwijze voor de matrix)

Ditzelfde kun je voor een vector in stelsel B':

\(\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} d e f \end{array} \right] = D \cdot \left[ \begin{array}{c} d e f \end{array} \right]\)

We zijn nu geinteresseerd in het geval de vector in B en de vector in B' dezelfde vector in \(\rr^3\) beschrijven:

\(A \cdot \left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right]= D \cdot \left[ \begin{array}{c} d e f \end{array} \right]\)

Beide kanten met de inverse van A vermenigvuldigen:

\(A^{-1} A \cdot \left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right] = (A^{-1} D) \cdot \left[ \begin{array}{c} d e f \end{array} \right] = C \cdot \left[ \begin{array}{c} d e f \end{array} \right]\)

Wat je natuurlijk ook kan doen is een beetje logisch nadenken. Het enige verschil tussen B en B' is dat de eerste en de derde vector van de basis zijn verwisseld. Je bent dus op zoek naar die matrix C zodat:

\(\left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right] = C \cdot \left[ \begin{array}{c} c b a \end{array} \right]\)

Wiskunde

Oke, dat brengt me een beetje op het goede spoor. Ik heb nog niet veel matrixrekenen gehad, zou je dit voorbeeld uit kunnen werken? Met de gegeven matrixes bedoel ik dan. Of is dat teveel werk?

EvilBro

Ik neem aan dat de "rij maal kolom" bekend is?

Gezocht C in:

\(\left[ \begin{array}{c} a b c \end{array} \right] = C \cdot \left[ \begin{array}{c} c b a \end{array} \right]\)

C is een 3x3 matrix. Voor de eerste rij van C geldt:

\(a = \left[ \begin{array}{ccc} k_{11} & k_{12} & k_{13} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} c b a \end{array} \right] = k_{11} c + k_{12} b + k_{13} a \)

Moge duidelijk zijn dat alleen \(k_{13}\) ongelijk nul is (en wel waarde 1 heeft).

Hetzelfde kun je doen voor de tweede en de derde rij van C. Dit levert:

\(C = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 \end{array} \right]\)

kotje

De overgensmatrix M heeft in de kolommen, de beelden van de basisvectoren in de ene basis ten opzichte van de andere basis.

Begrijp ik niet goed. Ik meen dat we op zoek moeten gaan naar een matrix (toch in het eerste geval bij overgang van B naar B' en als de basisvectoren in de kolommen staan) zodanig dat B'=C.B.

kotje

Ik werk mijn mogelijke oplossing verder uit:

B'=C.B we vermenigvuldigen rechts met

\(B^{-1}\)

dan krijgen we

\(C=B'.B^{-1}\)

. Dat laatste heb ik uitgerekend mer een R.M. die matrixes kan verwerken maar op Wikipidea vindt men ook hoe men de inverse van een matrix moet nemen en 2 matrixes moet vermenigvuldigen . Ik vind:

\(C=\left( \begin{array}{ccc}0&1&01&0&00&0&1 \end{array} \right)\)

Ge kunt even controleren door C te laten werken op de basisvectoren van B, ge vind de basisvectoren van B'.

Om van B' naar B te gaan hebt ge

\(C^{-1}\)

nodig maar die is dezelfde als C.

EvilBro

kotje schreef:Ik vind:

\(C=\left( \begin{array}{ccc}0&1&01&0&00&0&1 \end{array} \right)\)

Je hebt de basisvectoren in de rijen van je matrices gestopt. Dit is niet echt handig, want nu kun je C niet gebruiken om van een vector in B de representatie in B' te bepalen.

TD

De overgensmatrix M heeft in de kolommen, de beelden van de basisvectoren in de ene basis ten opzichte van de andere basis.

Begrijp ik niet goed. Ik meen dat we op zoek moeten gaan naar een matrix (toch in het eerste geval bij overgang van B naar B' en als de basisvectoren in de kolommen staan) zodanig dat B'=C.B.

Als je de nieuwe basisvectoren uitdrukt als lineaire combinatie van de oude basisvectoren, dan komen die coëfficiënten (per basisvector) in de kolommen van de overgangsmatrix. De omgekeerde transformaties is dan met de inverse van deze matrix.

Wiskunde

Spreken jullie elkaar nu tegen?

Nu weet ik niet meer, wat de juiste methode is om deze matrix te bepalen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Change-of-coordinates-matrix

Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix

Re: Change-of-coordinates-matrix