Limieten van rijen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 17-10-'06, 16:52

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Limieten van rijen

Veronderstel dat \((x_n)_{\nin \Re}\) en \((y_n)_{\nin \Re}\) convergente rijen zijn in :) . Noteer \(\lim_{\nrightarrow \infty} x_n = a\) en \(\lim_{\nrightarrow \infty} y_n = b\)

Doe een voorstel voor de limiet van de rij \((3x_n-2)_{\nin\Re}\) en bewijs je voorstel mbv de definitie van de limiet van een rij.

Mijn oplossing:

De limiet is \(x_n-3a+2\).

Te bewijzen:
\(\exists \epsilon >0, \forall n \in N, \exists n_0 \in N: n \geq n_0 \Rightarrow |x_n -3a+2| < \epsilon\)
Bewijs:

We stellen c=3a-2

Dan geldt
\(x_n -3a+2=x_n-c\)
Omdat de limiet van \(x_n\) b is kunnen we \(x_n\) willekeurig klein krijgen voor n voldoende groot.

We kunnen dus een
\(n_0 \in N\)
vinden waarvoor geldt
\(|x_n-c| < \epsilon\)
.

Nu geldt voor elke
\( n \geq n_0\)
dat
\(|x_n-c| \leq \epsilon = |x_n-3a+2| \leq \epsilon\)
Opmerking: ik weet dat dit bewijs waarschijnlijk vol fouten staat, want het is het eerste bewijs dat ik maak zonder voorbeeld dus.. :s Kan iemand me aanduiden waar de fouten precies zitten?

Alvast bedankt

Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 18:02

PeterPan

Re: Limieten van rijen

De limiet is \(3a-2\).

Schrijf \(z_n = 3x_n-2\) voor alle n :) :) .

Te bewijzen:
\(\exists \epsilon >0, \forall n \in N, \exists n_0 \in N: n \geq n_0 \Rightarrow |z_n -(3a-2)| < \epsilon\)
Bewijs:

Omdat de limiet van \(x_n\) b is kunnen we een
\(n_0 \in N\)
vinden zo dat voor n>n0 geldt
\(|x_n-b| < \frac{\epsilon}{3}\)
.

Dan geldt voor elke n > n0 dat
\(|z_n-(3a-2)| = |3x_n-2-(3a-2)| = |3x_n-3a| = 3|x_n-a| < 3\frac{\epsilon}{3} = \epsilon\)
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 18:06

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Limieten van rijen

Hoe kom je hier:
\(|x_n-b| < \frac{\epsilon}{3}\)
zo ineens aan?

Groetjes
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 18:08

PeterPan

Re: Limieten van rijen

De limiet is \(3a-2\).

Schrijf \(z_n = 3x_n-2\) voor alle n :) :) .

Te bewijzen:
\(\exists \epsilon >0, \forall n \in N, \exists n_0 \in N: n \geq n_0 \Rightarrow |z_n -(3a-2)| < \epsilon\)
Bewijs:

Omdat de limiet van \(x_n\) a is kunnen we een
\(n_0 \in N\)
vinden zo dat voor n>n0 geldt
\(|x_n-a| < \frac{\epsilon}{3}\)
.

Dan geldt voor elke n > n0 dat
\(|z_n-(3a-2)| = |3x_n-2-(3a-2)| = |3x_n-3a| = 3|x_n-a| < 3\frac{\epsilon}{3} = \epsilon\)
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 18:11

PeterPan

Re: Limieten van rijen

Hoe ik aan epsilon.gif/3 kom.

Ik begin eerst zo het bewijs:

De limiet is \(3a-2\).

Schrijf \(z_n = 3x_n-2\) voor alle n :) :) .

Te bewijzen:
\(\exists \epsilon >0, \forall n \in N, \exists n_0 \in N: n \geq n_0 \Rightarrow |z_n -(3a-2)| < \epsilon\)
Bewijs:

Omdat de limiet van \(x_n\) a is kunnen we een
\(n_0 \in N\)
vinden zo dat voor n>n0 geldt
\(|x_n-a| < \epsilon\)
.

Dan geldt voor elke n > n0 dat
\(|z_n-(3a-2)| = |3x_n-2-(3a-2)| = |3x_n-3a| = 3|x_n-a| < 3\epsilon\)
Ik zie dat ik zo op 3epsilon.gif uitkom. Ik moet volgens de definitie van limiet op epsilon.gif uitkomen, dus moet ik in mijn verhaal overal epsilon.gif door epsilon.gif/3 vervangen.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 18:15

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Limieten van rijen

Aha :)

Oké, bedankt peterpan!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:02

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Limieten van rijen

nog eentje:

"Toon met behulp van de definitie aan dat de volgende rij een limiet heeft: Xn = 5n-2"

TB:
\(\exists M >0 \in \Re, \forall n \in N, \exists n_0 \in N: n \geq n_0 \Rightarrow x_n > M\)
Bewijs:

We kunnen dus een \(n_0\) :) :) vinden waarvoor geldt dat
\(5n_0 -2 > M = 5n_0 > M+2 = n_0> \frac{M+2}{5} = n_0 > \frac{M}{5}\)
Voor alle n :) \(n_0\) geldt dus:

Xn ;) \(5n_0 -2\) :) n :) \(n_0 > \frac{M}{5}\)

Waar zit de fout in dit bewijsje? Want ik bewijs het namelijk voor M/5 maar niet voor M.

Groeten.

PS: ik denk ook dat ik mijn gelijkheidstekens (=) op plaatsen zet waar ze niet mogen staan.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:18

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Limieten van rijen

Een venijnig vraagje voor PeterPan : Ge doet een voorstel voor de limiet van de vorige rij namelijk \(3a-2\) en dan bewijs ge dat dit de limiet is. Ik had hetzelfde voorstel gedaan. Maar mijn vraag is: Hoe komt ge aan je voorstel?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:20

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Limieten van rijen

Dat volgt uit definities van limieten (vermenigvuldigen van limieten met een getal / optellen van een limiet met een getal).
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:25

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Limieten van rijen

"Toon met behulp van de definitie aan dat de volgende rij een limiet heeft: Xn = 5n-2"


Ik denk niet dat bovenstaande een limiet heeft als n naar oneindig gaat.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:28

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Limieten van rijen

plus en min oneindig zijn ook limieten. Een rij heeft geen limiet als die limiet niet te bepalen is.

Denk maar aan de limiet van sin(x) met x gaande naar oneindig. De rij zal altijd waarden aannemen tussen -1 en 1.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:31

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Limieten van rijen

Spijtig maar er is hier al gezegd dat oneindig geen getal is maar een symbool.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:34

PeterPan

Re: Limieten van rijen

"Toon met behulp van de definitie aan dat de volgende rij een limiet heeft: Xn = 5n-2"
Helaas heeft deze rij geen limiet.

De rij is wel onbegrend, d.w.z.
\(\forall M \in \Re^{+}, \exists n_0 \in N, \forall n \in N: n>n_0 \Rightarrow x_n>M\)
Bewijs:

Laat M>0 gegeven zijn.

Kies n0 = (M+2)/5.

Nu geldt voor n>n0
\(x_n = 5n-2>5n_0 -2 = 5\frac{M+2}{5}-2 = M\)
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 19:53

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limieten van rijen

plus en min oneindig zijn ook limieten. Een rij heeft geen limiet als die limiet niet te bepalen is.
Dat is toch niet helemaal juist, al hangt het er maar van af hoe je je begrippen definieert. Ik vermoed dat volgens je definitie, de limiet zal bestaan als er een reëel getal L bestaat waarvoor voldaan is aan je epsilon-delta definitie, hier vallen +/- oneindig niet onder. In zo'n geval convergeert de rij ook niet, maar divergeert ze. Soms wordt dit per conventie "convergeren naar oneindig" (in [rr]U{+ :) , - :) }) genoemd, maar daar ben ik niet zo gek van.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 20:00

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Limieten van rijen

oké :)

Hoe zouden jullie de volgende rij aanpakken?

Xn = (2n²-1)/n

Zelfde opgave als de vorige..

Ik kom er zelf niet echt uit.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”