Functie afleiden.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 2.589

Functie afleiden.

Ik heb hier:

Afbeelding

Nu had ik dus graag die afgeleide bepaald. Volgens mij past men de produkt regel toe en krijgt men zo twee stukken. Voor het eerste is dat dan logisch men leid de tweede factor af an vermenigvuldigt met de eerste. Dan leid men de eerste af en gebruikt de ketting regel maar moet men dan niet de afgeleide van de binnenste functie nemen? maw dus:
\(\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\frac{d^2t}{ds^2}\frac{dt}{ds}\)
Maw analoog aan bv
\(\sin(2x)\)
wat dan
\(-\cos(2x)2\)
zou worden?

Groeten Dank bij voorbaat.

Berichten: 2.589

Re: Functie afleiden.

Klopt het volgende?
\((f\circg(x))'=f'(g(x))g'(x)\)


Waarom mag ik dit niet op bovenstaande toepassen?

Groeten

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Functie afleiden.

In het linkerlid zie ik geen g... Wat wel klopt: f(g(x))' = f'(g(x)).g'(x) (kettingregel).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Functie afleiden.

probleem is dat ik niet zie hoe ik aan dit kom:

Afbeelding

hoe men maw die afgeleide bereken, ik probeer dit nu op te lossen met de produkt regel en de ketting regel maar dan kom ik:
\(\frac{d^2}{ds^2}\frac{d\vec{r}}{dt}+\frac{d^2\vec{r}}{dt} \frac{d^2t}{ds^2}\frac{dt}{ds}\)
in de laatste term passen we dus de ketting regel toe waarbij we van de inwendige functie opnieuw de afgeleide berekenen.

Waarom bekomt men in de kopie iets anders?

Groeten.

Berichten: 7.068

Re: Functie afleiden.

Productregel:
\(\frac{d(f(s) \cdot g(s))}{ds} = f(s) \frac{dg(s)}{ds} + \frac{df(s)}{ds} g(s)\)
Met:
\(f(s) = \frac{d\vec{r}}{dt}\)
\(g(s) = \frac{dt}{ds}\)
levert:
\(\frac{d}{ds} (\frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{dt}{ds}) = \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{d}{ds}(\frac{dt}{ds}) + \frac{dt}{ds} \cdot \frac{d}{ds} (\frac{d\vec{r}}{dt}) = \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{d^2t}{ds^2} + \frac{dt}{ds} \cdot \frac{d}{ds} (\frac{d\vec{r}}{dt})\)


Kettingregel:
\(\frac{dm(n(s))}{ds} = \frac{dm(n)}{dn} \frac{dn(s)}{ds}\)
Met:
\(m(n) = \frac{d\vec{r(t)}}{dt}\)
\(n(s) = t(s)\)
levert:
\(\frac{d}{ds} (\frac{d\vec{r}}{dt}) = \frac{d}{dt}(\frac{d\vec{r}}{dt}) \frac{dt}{ds} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \frac{dt}{ds} \)


Het totaal:
\( \frac{d\vec{r}}{dt} \cdot \frac{d^2t}{ds^2} + \frac{dt}{ds} \cdot \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \frac{dt}{ds} = \frac{d^2t}{ds^2} \frac{d\vec{r}}{dt} + (\frac{dt}{ds})^2 \cdot \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \)
en dat is het gegeven antwoord.

Berichten: 2.589

Re: Functie afleiden.

idd maar ik dacht dat er staat
\(n=\frac{dt}{ds}\)
waarom zie ik dat verkeerd?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Functie afleiden.

Bert F schreef:Ik heb hier:

Afbeelding

Nu had ik dus graag die afgeleide bepaald. Volgens mij past men de produkt regel toe en krijgt men zo twee stukken. Voor het eerste is dat dan logisch men leid de tweede factor af an vermenigvuldigt met de eerste. Dan leid men de eerste af en gebruikt de ketting regel maar moet men dan niet de afgeleide van de binnenste functie nemen? maw dus:
\(\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\frac{d^2t}{ds^2}\frac{dt}{ds}\)
Maw analoog aan bv
\(\sin(2x)\)
wat dan
\(-\cos(2x)2\)
zou worden?

Groeten Dank bij voorbaat.
Kan je de gehele opgave geven of als dit theorie is, de achtergrond hiervan.

De eerste functie kan ik niet lezen!

Berichten: 2.589

Re: Functie afleiden.

We zouden de fromulletjes van frenet moeten bewijzen en het loopt vast bij het rode en dat is afkomstig van het eerste formulletje van frenet.

Afbeelding

Afbeelding

Groeten Dank bij voorbaat.

Berichten: 7.068

Re: Functie afleiden.

idd maar ik dacht dat er staat
\(n=\frac{dt}{ds}\)
waarom zie ik dat verkeerd?
Waar zie je dat staan?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Functie afleiden.

EvilBro schreef:Met:
\(\vec{m}(n) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}\)
\(n(s) = t(s)\)
levert:
\(\frac{d}{ds} (\frac{d\vec{r}}{dt}) = \frac{d}{dt}(\frac{d\vec{r}}{dt}) \frac{dt}{ds} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \frac{dt}{ds} \)
Helemaal eens met deze afleiding!

Alleen misschien een kleine correctie in vectorfunctie r en dientengevolge ook vectorfunctie m (zie boven).

Berichten: 2.589

Re: Functie afleiden.

kan ik in latex iets in een andere kleur zetten?

er staat volgens mij
\( \frac{d\vec{1}_t}{ds}=\frac{d}{ds} \left ( \frac{d\vec{r}}{ds} \right ) \)
maar er staat
\(\frac{d}{ds}(\vec{r})\)
tussen de haken maw de eerste afgeleide van de vectorfunctie ifv s deze functie is in het totaal ifv t maar volgens mij staat er al de eerste afgeleide van die functie en gaan we net die nu beschouwen. Waarvan we dan de tweede afgeleide gaan berekenen.

Dus ik zie het zo we hebben een afgeleide functie ifv een andere afgeleide functie als we dan daar de ketting regel op toepassen dan moeten we toch de afgeleide van de buitensten functie berekenen (en dat is dan de tweede afgeleide ) en dan de afgeleide zoeken van waar die in functie was.

omdat deze functie als eens een afgeleide was berkenen we daar nu de tweede van.

Beste, ik wil jullie best geloven dat het zo is maar ik zou graag weten waar ik nu net verkeerd aan het redeneren ben Kan ik wat intypen in kleur in latex? dan kan ik mijn redenering wat verduidelijken.

Zien jullie mss waar ik fout aan het redeneren ben?

Groeten. Dank bij voorbaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Functie afleiden.

kan ik in latex iets in een andere kleur zetten?
Hier op het forum zal dat niet lukken, vrees ik.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Functie afleiden.

Hier op het forum zal dat niet lukken, vrees ik.
Spijtig.

dan even zo:

Afbeelding

volgens mij is het rode geval ifv t en die ifv s.

en we hebben ook nog:

Afbeelding

als ik nu van dat oranje de afgeleide wil kennen dan leid ik eerst het groene af en vermenigvuldig dat met het niet omkaderde in het oranje dus:

dan heb ik
\(\frac{d^2t}{ds^2}\frac{\vec{r}}{dt}\)


net zoals zij vinden.

nu leid ik het tweede af, dus het niet omkaderde in het oranje dit is ifv
\(\frac{dt}{ds}\)
dus stel dat
\(\frac{d\vec{r}}{dt}=g(\frac{dt}{ds})\)
dan bekom ik de afgeleide van g en nog eens afleiden wat er in zit dus
\(g'(\frac{dt}{ds})\frac{d}{dt}\left ( \frac{dt}{ds} \right )\)
zodat ik dan een vermenigvuldiging met de tweede afgeleide krijg die "er in zit"

Waarschijnelijk, om niet te zeggen zeker, is mijn redenring fout alleen waar? ik begin aan te voelen dat ik hier onterecht iets aan het combineren ben alleen weet ik niet juist wat ik fout doe.

Iemand enig idee? Groeten.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Functie afleiden.

Hier op het forum zal dat niet lukken, vrees ik.
Spijtig.

dan even zo:

Afbeelding

volgens mij is het rode geval ifv t en die ifv s.

en we hebben ook nog:

Afbeelding

als ik nu van dat oranje de afgeleide wil kennen dan leid ik eerst het groene af en vermenigvuldig dat met het niet omkaderde in het oranje dus:

dan heb ik
\(\frac{d^2t}{ds^2}\frac{\vec{r}}{dt}\)


net zoals zij vinden.

nu leid ik het tweede af, dus het niet omkaderde in het oranje dit is ifv
\(\frac{dt}{ds}\)
dus stel dat
\(\frac{d\vec{r}}{dt}=g(\frac{dt}{ds})\)
dan bekom ik de afgeleide van g en nog eens afleiden wat er in zit dus
\(g'(\frac{dt}{ds})\frac{d}{dt}\left ( \frac{dt}{ds} \right )\)
zodat ik dan een vermenigvuldiging met de tweede afgeleide krijg die "er in zit"

Waarschijnelijk, om niet te zeggen zeker, is mijn redenring fout alleen waar? ik begin aan te voelen dat ik hier onterecht iets aan het combineren ben alleen weet ik niet juist wat ik fout doe.

Iemand enig idee? Groeten.
Je veronderstelt, ten onrechte, dat de vectorfunctie dr/dt een functie is van dt/ds. De vector r is een functie van t en t is weer een functie van s. Dus vectorfunctie dr/dt is een functie van t en t een functie van s.

Nu moeten we dr/dt differentiëren naar s, dus de kettingregel: eerst naar t , dan naar s.

Dit is dus niet juist:

"nu leid ik het tweede af, dus het niet omkaderde in het oranje dit is ifv
\(\frac{dt}{ds}\)
dus stel dat
\(\frac{d\vec{r}}{dt}=g(\frac{dt}{ds})\)
dan bekom ik de afgeleide van g en nog eens afleiden wat er in zit dus
\(g'(\frac{dt}{ds})\frac{d}{dt}\left ( \frac{dt}{ds} \right )\)
Opm: Belangrijk is de variabele waarnaar je differentiëert in de gaten te houden.

Als je schrijft : f'(p) is p de variabele waarnaar je differentiëert, dus df/dp=f'(p).

Berichten: 7.068

Re: Functie afleiden.

nu leid ik het tweede af, dus het niet omkaderde in het oranje dit is ifv
\(\frac{dt}{ds}\)
dus stel dat
\(\frac{d\vec{r}}{dt}=g(\frac{dt}{ds})\)
Dit is niet goed! De functie die je aan het bekijken bent is:
\(\frac{d\vec{r}(t(s))}{dt(s)} = g(t(s)) \rightarrow \frac{dg(t(s))}{ds} = \frac{dg(t(s))}{dt} \frac{dt(s)}{ds} = \frac{d^2\vec{r}(t(s))}{dt^2(s)} \frac{dt(s)}{ds}\)

Reageer