Vraagjes bij lineaire algebra

iris

Er worden mij twee problemen voorgeschoteld waarvan ik niet helemaal de oplossing kan vinden:

1)

A 100-lb weight is suspended by a rope passes through an eyelet on top of the weight and making angles of Phi degrees with the vertical. Find the tension in the rope.

Het lijkt mij dat de tension hier gewoon per kant van de 'eyelet' 100*cos(Phi) moet zijn.

Nu vragen ze: What happens if an attempt is made to stretch the rope out straight (horizontal) while the 100-lb weight hangs on it?

Ik kan enkel verzinnen dat cos(Phi)=0 dus er een probleem ontstaat, ik vraag me echter af of dit ook werkelijk is wat ze bedoelen met deze opdracht? Weet iemand hier misschien een exacter antwoord op?

2)

Gebruik vector-methoden om te bewijzen dat het midden van een hypothenusa van een rechthoekige driehoek evenver zit van alle hoekpunten van die driehoek. Als ik dit teken zie ik inderdaad dat het geld. Maar hoe ik daadwerkelijk kan bewijzen dat het klopt?

Er staat een hint bij:

Laat zien dat: ||1/2(v+w)||=||1/2(v-w)||.

Waarbij v en w dus de twee vectoren zijn die de rechte zijden van de driehoek opspannen. Als je dit bewezen hebt, is de stelling dan bewezen en waarom?

EvilBro

iris schreef:2)

Gebruik vector-methoden om te bewijzen dat het midden van een hypothenusa van een rechthoekige driehoek evenver zit van alle hoekpunten van die driehoek.

Stel je hebt twee vectoren (v en w) die de driehoek opspannen. Dit legt de richting van de schuine zijde vast, namelijk:

\(\vec{v} - \vec{w}\)

.

Het is nu mogelijk om het midden van de schuine zijde te beschrijven (op meerdere manieren zelfs):

\(\vec{w} + \frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{v} - \frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{w}) = \frac{1}{2} (\vec{v} + \vec{w})\)

Nu wil je de afstand weten van elk van de hoekpunten:

\(||\frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{w})|| = \frac{1}{2} || (\vec{v} - \vec{w})|| = \frac{1}{2} \sqrt{|| (\vec{v} - \vec{w})||^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{v} - \vec{w}) (\vec{v} - \vec{w})} = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{v} \vec{v} - \vec{v} \vec{w} - \vec{w} \vec{v} + \vec{w} \vec{w}}\)

\(||-\frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{w})|| = ||\frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{w})||\)

\(||\frac{1}{2} (\vec{v} + \vec{w})|| = \frac{1}{2} || (\vec{v} + \vec{w})|| = \frac{1}{2} \sqrt{|| (\vec{v} + \vec{w})||^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{v} + \vec{w}) (\vec{v} + \vec{w})} = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{v} \vec{v} + \vec{v} \vec{w} + \vec{w} \vec{v} + \vec{w} \vec{w}}\)

De vectoren v en w staan loodrecht, dus:

\(\vec{v} \vec{w} = \vec{w} \vec{v} = 0\)

Hieruit volgt:

\(||\frac{1}{2} (\vec{v} - \vec{w})|| = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{v} \vec{v} - \vec{v} \vec{w} - \vec{w} \vec{v} + \vec{w} \vec{w}} = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{v} \vec{v} + \vec{w} \vec{w}}\)

\(||\frac{1}{2} (\vec{v} + \vec{w})|| = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{v} \vec{v} + \vec{v} \vec{w} + \vec{w} \vec{v} + \vec{w} \vec{w}} = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{v} \vec{v} + \vec{w} \vec{w}}\)

De afstanden zijn dus gelijk.

kotje

Iris schreef:

1)

A 100-lb weight is suspended by a rope passes through an eyelet on top of the weight and making angles of Phi degrees with the vertical. Find the tension in the rope.

Het lijkt mij dat de tension hier gewoon per kant van de 'eyelet' 100*cos(Phi) moet zijn.

Nu vragen ze: What happens if an attempt is made to stretch the rope out straight (horizontal) while the 100-lb weight hangs on it?

Ik kan enkel verzinnen dat cos(Phi)=0 dus er een probleem ontstaat, ik vraag me echter af of dit ook werkelijk is wat ze bedoelen met deze opdracht? Weet iemand hier misschien een exacter antwoord op?

Ik meen dat de trekkracht in het touw in grootte altijd gelijk is aan het gewicht en gericht is naar de persoon, die het touw vasthoudt. De resultante vindt men door paralellogramregel en cosinusregel toe te passen. In geval touw horizontaal kan men werken in een rechthoekige driehoek. Deze resultante wordt gecompenseerd door een reactiekracht van de haak.

EvilBro

A 100-lb weight is suspended by a rope passes through an eyelet on top of the weight and making angles of Phi degrees with the vertical. Find the tension in the rope.

Volgens mij is de situatie de volgende:

De massa wordt door de zwaartekracht naar beneden getrokken met een kracht gelijk aan \(m \cdot g\). Het touw trekt even hard omhoog. Dit is de resultante Fr. De resultante wordt door beide kanten van het touw veroorzaakt. Vanwege symmetrie kunnen we zeggen dat elke kant de helft van de resultante 'levert'. Er geldt nu dus:

\(\frac{Fr}{2} = \frac{m \cdot g}{2} = Ft \cdot \cos(\phi) \rightarrow Ft = \frac{m \cdot g}{2 \cdot \cos(\phi)}\)

Als men nu probeert het touw horizontaal te krijgen dan probeer je \(\phi\) naar \(\frac{\pi}{2}\) te krijgen (niet 0!). We kijken nu wat voor invloed dit heeft op de kracht op het touw (via de limiet):

\(\limits\lim_{\phi \uparrow \frac{\pi}{2}} Ft = \limits\lim_{\phi \uparrow \frac{\pi}{2}} \frac{m \cdot g}{2 \cdot \cos(\phi)} = \infty\)

De benodigde kracht wordt steeds groter naarmate je dichter bij de horizontale stand komt. Ik gok dat er een punt komt dat er iets breekt. Of als die kracht (om iets te breken) niet geleverd kan worden, dat je het touw nooit horizontaal krijgt.

kotje

Ik wil ook mijn mening geven over geval 2. Twee meningen is beter dan 1 dan kunt ge zelf een keuze maken.

Ik leg mijn

\(\vec{o}\)

in het punt waar de twee rechthoekzijden samenkomen en noem de andere hoekpunten

\(\vec{a} ,\vec{b}\)

.Het midden van de schuine zijde noem ik

\(\vec{m}\)

. Men bewijst nu gemakkelijk

\(\vec{m}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

.

Er is nu nog te bewijzen lengte(norm) van

\(\vec{m}\)

is b.v. gelijk aan norm

\(\overrightarrow{am}\)

. Dit bewijst men gemakkelijk door gebruik te maken van

\(\overrightarrow{am}=\vec{m}-\vec{a}\)

. De norm van een vector vindt men door de vierkantswortel te nemen uit het scalair produkt met zichzelf. Als men nu rekening houdt met het feit dat

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

de vectoren staan loodrecht op elkaar, vindt men zelfde resultaat.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vraagjes bij lineaire algebra

Vraagjes bij lineaire algebra

Re: Vraagjes bij lineaire algebra

Re: Vraagjes bij lineaire algebra

Re: Vraagjes bij lineaire algebra

Re: Vraagjes bij lineaire algebra