Hoe deze functie te integreren?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 25-10-'06, 19:56

Mark-123

Berichten: 98

Hoe deze functie te integreren?

Een integraal die helemaal niet zo moeilijk zou moeten zijn, maar het is alweer een tijd geleden dat ik me ermee bezig gehouden heb. Het antwoord weet ik wel, en is ook niet zo belangrijk. Het gaat me erom HOE deze integraal uit te rekenen. Substitutieregel, partieel integreren of...? Ik ben degene die mij een duw in de goede richting geeft erg dankbaar.
\(\int \sqrt{x}e^{-x}dx\)
Met integratiegrenzen 0 tot
\(\inf\)
PS: Hoe kan ik 0 en oneindig als integratiegrenzen bij de integraal zetten? :)
Omhoog

Bericht 25-10-'06, 19:59

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hoe deze functie te integreren?

Je gaat hier met die klassieke methoden geen "gewone" primitieve vinden, de (niet-elementaire) Erf-funtie zal er aan te pas komen.

Klik voor code:
\(\int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x}dx\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-10-'06, 20:08

Mark-123

Berichten: 98

Re: Hoe deze functie te integreren?

Dat is een tegenvaller. Het is een integraal die voorkomt in een afleiding van het aantal elektronen in de geleidingsband van een intrinsieke halfgeleider. De integraal wordt niet uitgewerkt, maar het antwoord wordt gewoon gegeven:
\(\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\)
Er staat vervolgens in de kantlijn: You'd better work this one out for yourself, it's not too difficult. Ik zal het antwoord maar gewoon accepteren en verder lezen. :wink: Bedankt, ook voor de juiste code!
Omhoog

Bericht 25-10-'06, 20:55

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Hoe deze functie te integreren?

TD! schreef:Je gaat hier met die klassieke methoden geen "gewone" primitieve vinden, de (niet-elementaire) Erf-funtie zal er aan te pas komen.

Klik voor code:
\(\int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x}dx\)
geen primitieve inderdaad, maar wel een oplossing:
\(\int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x}dx=\int_{0}^{+\infty} 2x^2e^{-x^2}dx\)
na substitutie x'=
\(\sqrt{x}\)
.

Partieel integreren:
\(2[x\frac{e^{-x^2}}{-2}]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\)
eerste deel is 0, 2de deel is
\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
.

ofwel ken je die van buiten, ofwel:
\(\sqrt{\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy}=\sqrt{\int_0^{\pi/2}dph\iint_0^{+\infty}re^{-r^2}dr}=\sqrt{\frac{\pi}{2}[\frac{e^{-r^2}}{-2}]_0^{+\infty}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
Omhoog

Bericht 25-10-'06, 20:59

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hoe deze functie te integreren?

Zo verschuif je het probleem natuurlijk naar de integraal die misschien bekend is, maar ook niet 'zomaar' uit te rekenen.

Je laatste manier om het uit te rekenen (zie ook hier of hier) is ook niet bepaald 'eenvoudig', maar ik ken het niveau van Marc natuurlijk niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”