Samengestelde Trillingen

kotje

Los op:

\(\left{\begin{array}{rcl}m\frac{d^2x_1}{dt^2}=k(x_2-2x_1)m\frac{d^2x_2}{dt^2}=k(x_1-2x_2)\end{array}\right\)

Hierin zijn m en k positieve constanten. De in de oplossing optredende constanten moeten uitgedrukt worden in k en m of zo ver mogelijk vereenvoudigd worden.

bram2

kotje schreef:Los op:

\(\left{\begin{array}{rcl}m\frac{d^2x_1}{dt^2}=k(x_2-2x_1)m\frac{d^2x_2}{dt^2}=k(x_1-2x_2)\end{array}\right\)
Hierin zijn m en k positieve constanten. De in de oplossing optredende constanten moeten uitgedrukt worden in k en m of zo ver mogelijk vereenvoudigd worden.

Om je wat op weg te helpen: schrijf vergelijking 1 als x2=... en vul deze x2 in in vergelijking 2, dan heb je een differentiaalvergelijking van een type dat makkelijk op te lossen is, staat hier wat uitgelegd http://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalvergelijking

kotje

Beste bram2, ik wil je eraan herinneren dat er twee ombekende functies van de tijd zijn namelijk

\(x_1 ,x_2\)

.Dus jouw methode van werken zal zeker niet gaan.

EvilBro

Dus jouw methode van werken zal zeker niet gaan.

Ik denk dat je niet begrepen hebt wat hij suggereert. Doe dit:

\(m \frac{d^2 x_1}{dt^2}=k(x_2 - 2 x_1) \rightarrow x_2 = \frac{m}{k} \frac{d^2 x_1}{dt^2} + 2 x_1 \rightarrow \frac{d^2 x_2}{dt^2} = \frac{m}{k} \frac{d^4 x_1}{dt^4} + 2 \frac{d^2 x_1}{dt^2}\)

Invullen in tweede vergelijking:

\(m \left(\frac{m}{k} \frac{d^4 x_1}{dt^4} + 2 \frac{d^2 x_1}{dt^2}\left) = k (x_1 - 2 \left( \frac{m}{k} \frac{d^2 x_1}{dt^2} + 2 x_1 \right))\)

vereenvoudigt tot:

\(\left(\frac{m}{k}\right)^2 \frac{d^4 x_1}{dt^4} + 4 \frac{m}{k} \frac{d^2 x_1}{dt^2} + 3 x_1 = 0\)

En nu oplossen maar...

Je zou het eventueel ook zo kunnen doen: door te verzinnen dat als je de vergelijkingen optelt je hetvolgende krijgt:

\(m \frac{d^2 (x_1 + x_2)}{dt^2}=-k(x_1 + x_2)\)

Substitueer met u=x1+x2:

\(m \frac{d^2 u}{dt^2} + k u = 0\)

Oplossen naar u.

Dan de eerste vergelijking omschrijven naar:

\(m \frac{d^2 x_1}{dt^2}=k(x_2 - 2 x_1) = k (x_1 + x_2 - 3 x_1) = k (u - 3 x_1) \rightarrow \frac{m}{k} \frac{d^2 x_1}{dt^2} + 3 x_1 = u\)

en oplossen naar x1.

kotje

Ik heb mij misschien verkeerd uitgedrukt bij Bram2. Zo oplossen zou misschien gaan,maar de eindstreep halen is nog wat anders. Ook je methode zou eventueel kunnen?

Neen ik zoek een eenvoudige methode.Ik zie de tweede afgeleide staan met de functie. Misschien zou het kunnen gaan met een substitutie van een functie, die als tweede afgeleide op teken en constanten na dezelfde functie oplevert.Ik werk eraan.

In ieder geval bedankt voor de reacties en mijn excuses voor Bram2.

EvilBro

Zo oplossen zou misschien gaan,maar de eindstreep halen is nog wat anders.

\(\left(\frac{m}{k}\right)^2 \frac{d^4 x_1}{dt^4} + 4 \frac{m}{k} \frac{d^2 x_1}{dt^2} + 3 x_1 = 0\)

Onderzoeken of de oplossing van de gedaante \(e^{\lambda t}\) is (\(\lambda\) kan een complex getal zijn!). Invullen en delen door \(e^{\lambda t}\) levert de karakteristieke vergelijking:

\(\left(\frac{m}{k}\right)^2 \lambda^4 + 4 \frac{m}{k} \lambda^2 + 3 = 0\)

Hier herken je eenvoudig het volgende in (je kan natuurlijk ook gewoon de abc-formule gebruiken):

\(\left(\frac{m}{k}\right)^2 \lambda^4 + 4 \frac{m}{k} \lambda^2 + 3 = \left(\frac{m}{k}\right)^2 \lambda^4 + (1+3) \frac{m}{k} \lambda^2 + 1\cdot 3 = (\frac{m}{k} \lambda^2 + 1)(\frac{m}{k} \lambda^2 + 3) = 0\)

Hieruit volgen dus twee vergelijkingen:

\(\lambda^2 = -\frac{k}{m}\)

\(\lambda^2 = -\frac{3 k}{m}\)

dus:

\(\lambda = i \sqrt{\frac{k}{m}} \mbox{ of } \lambda = -i \sqrt{\frac{k}{m}} \mbox{ of } \lambda = i \sqrt{\frac{3k}{m}} \mbox{ of }\lambda = -i \sqrt{\frac{3k}{m}}\)

Dit leidt tot:

\(x_1 = A e^{i \sqrt{\frac{k}{m}}t} + B e^{-i \sqrt{\frac{k}{m}} t} + C e^{i \sqrt{\frac{3 k}{m}} t} + D e^{-i \sqrt{\frac{3 k}{m}} t}\)

dus:

\(x_1 = (A+B) \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + i (A-B) \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + (C+D) \cos\left(\sqrt{\frac{3 k}{m}}t\right) + i (C-D) \sin \left(\sqrt{\frac{3 k}{m}}t\right)\)

ofwel:

\(x_1(t) = c_1 \cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + c_2 \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + c_3 \cos\left(\sqrt{\frac{3 k}{m}}t\right) + c_4 \sin \left(\sqrt{\frac{3 k}{m}}t\right)\)

Makkelijker kan ik het niet maken (maar zo moeilijk is dit nu ook weer niet).

P.S. Misschien toch wel. Je zou op basis van de symmetrie in de vergelijkingen kunnen vermoeden dat x1=x2 of x1=-x2 en dan hiermee van start gaan. Het probleem is echter wel dat je dit vermoeden natuurlijk ook hard moet maken (en dat vind ik lastiger).

kotje

De frequenties kloppen met de gegeven frequenties, dus je oplossing zal wel correct zijn.

Ik vertrek van

\(x_1=A_1\cos{\omega t}\)

en

\(x_2=A_2\cos{\omega t}\)

, vul in krijg een stelsel, waaruit een vkv in

\(\omega\)

volgt, die dezelfde waarden als gij oplevert. Ik kan dan nog berekenen door invullen

\(A_1=A_2\)

of

\(A_1=-A_2\)

.

Maar ik geef toe je oplossing is algemener.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Samengestelde Trillingen

Samengestelde Trillingen

Re: Samengestelde Trillingen

Re: Samengestelde Trillingen

Re: Samengestelde Trillingen

Re: Samengestelde Trillingen

Re: Samengestelde Trillingen

Re: Samengestelde Trillingen