Deze opgave moet ik ook maken! En ik kom er ook totaal niet uit...
Ik weet zeker dat we geen kennis over elliptische integralen nodig hebben, maar we hebben wel meer informatie dan Hugo geeft. De volledige opgave is als volgt:
De periode van een slinger met lengte L, die een maximale hoek
\(\phi\)
met de verticale as maakt is gelijk aan
\(T = 4\cdot \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx} {\sqrt{1- k^2 \sin^2 x}}\)
waarbij
\(k=\sin\left({\frac{\phi}{2}}\right)\)
.
Gebruik de Taylorreeks voor
\(\frac{1}{\sqrt{1+h}}=(1+h)^{-\frac{1}{2}}\)
en de volgende formule (die we reeds hebben afgeleid) :
\(\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n} xdx=\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2n)} \frac{\pi}{2}\)
om aan te tonen dat
\(T \approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{1^2}{2^2}k^2 + \frac{1^2 3^2}{2^2 4^2}k^4 + \frac{1^2 3^2 5^2}{2^2 4^2 6^2}k^6 +\cdots)\)
DE TWEEDE DEELVRAAG:
Als
\(\phi\)
klein is, krijgt men de benadering
\(T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)
, door de eerste-orde Taylorbenadering te nemen. Een betere benadering krijgen we bij de tweede-orde benadering:
\(T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{1}{4}k^2)\)
.
Merk op dat alle termen in de in a) aangetoonde reeks, na de eerste term, coefficienten hebben die maximaal
\(\left(\frac{1}{4}\right)\)
zijn. Gebruik dat feit om deze reeks te vergelijken met de meetkundige reeks
\(\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots \)
en om daarmee aan te tonen dat
\(2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{1}{4}k^2)\leq T \leq 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \frac{4-3k^2}{4-4k^2}\)
Wie o wie geeft mij en Hugo de eerste aanzet (of meer
)?
