'precies' kan ik niet vertellen (staat niet in mijn boeken ). Het heeft te maken met dat de complexe nummers niet in een geordend veld kunnen worden gezet.
Er is op C geen 'orde' gedefinieerd, we kunnen niet zeggen dat het ene complex getal groter is dan het andere. Waarom zou 3-4i groter of kleiner zijn dan -7+2i? Waar je wél van kan spreken is de modulus van een complex getal, dat is namelijk reëel en dus geordend.
Je opgave is dus niet helemaal onzinnig, want je weet dat |z| = |x+iy| = x²+y². De ongelijkheid |z-i|<2 stelt een schijf voor met middelpunt (i,0) en straal 2. De modulus van z ligt dan tussen -sqrt(3) en sqrt(3). Maar het rechterlid zoals het er nu staat, is betekenisloos.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
'precies' kan ik niet vertellen (staat niet in mijn boeken ). Het heeft te maken met dat de complexe nummers niet in een geordend veld kunnen worden gezet.
ELKE verzameling kan worden geordend. (totale ordening)
Op de complexe getallen bestaat geen ordening zoals op de reële getallen, waarbij we aan grootte moeten denken. In die zin is een uitspraak als a + bi > c + di betekenisloos. Het is echter wel mogelijk op de complexe getallen een ordening in te voeren. Deze heet lexicografische ordening. In deze ordening gaat men net zo te werk als bij het ordenen van namen, en beschouwt men het reële deel van een complex getal als het ware als de eerste letter en het imaginaire deel als de tweede letter. Het complexe getal a+bi is dus groter dan alle complexe getallen c+di waarvoor c<a of waarvoor c=a en d<b.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Om een kort antwoord te geven : "NEEN, dit is niet zinvol" zal wel juist geweest zijn. 8)
Kan je
\( \cc\)
dan ook totaal ordenen zoals
\(\rr\)
?
Kijk als je een bijectie (dat is dus een 1-op-1 afbeelding ) f kan vinden tussen een verzameling A en een geordende verzameling B, dan kan je ook die ordening "overnemen" op A. Je zegt gewoon
\(a_1 < a_2 \Leftrightarrow f(a_1)< f(a_2)\)
En ja, geloof het niet,
\(matbb{R} \)
en
\(\mathbb{C}\)
, daar bestaat wel degelijk een bijectie tussen, ze hebben dus ook evenveel elementen. (Het lijkt misschien moeilijk om aan te nemen dat een vlak en een rechte evenveel punten bevatten.. maar het is zo ).
).
