[MECHANICA] optimale hoek

tycho

Hey,

Ik zit met een problemen dat ik niet opgelost krijg:

Ik moet de optimale hoek(de hoek waarbij de snelheid minimaal is om een gegeven punt te bereiken) berekenen. Ik heb hiervoor enkel de gegevens dat het te bereiken punt op 20 meter horizontaal en -2 meter verticaal ligt.

Hoe begin ik hieraan?

dank bij voorbaat

Jan van de Velde

a) lijkt me geen fundamentele vraag, en dus huiswerk?

b) het is dat we zoiets wel vaker zien, dat we denken te begrijpen waar je het mogelijk over zou kunnen hebben. (zo, dat vind ik een coole formulering 8) )

educated guess: kogelbaanprobleempje?

zou je het eens letterlijk kunnen plaatsen voor de zekerheid?

(nadat een moderator zo lief is geweest dit topic op de juiste plaats te zetten).

StrangeQuark

Zo lief ben ik zeker, en ik ben het eens met de formulering. Tekeningetje is vaak duidelijker.

tycho

het gaat over volgend vraagstuk.

Een student heeft vanop een boomtak A een tomaat in B gemikt, precies vanop de kruin van een voorbij joggende professor. Hij heeft de tomaat gelanceerd onder de optimale hoek, dit is de hoek warbij de snelheid nodig om B te bereiken vanuit A minimaal is. Bereken deze optimale hoek en de bijhorende minimale lanceringssnelheid. Men weet dat de prof op het ogenblik dat hij onder A doorkwam onraad vermoedde en met een constante versnelling van 0.5m/s^2 weg spurtte. Hij bereikte B met een snelheid van 18 km/h. Waar bevond hij zich op het ogenblik dat de tomaat gelanceerd werd?

Punt B ligt 20meter verder dan punt A en is 2 meter lager gelegen.

Mijn vraag is vooral: Hoe kan ik die optimale hoek berekenen???

Jan van de Velde

De snelheid, versnelling en plaats van de prof gaan pas echt terzake doen zodra we de rest hebben uitgerekend.

als de tomaat met enorme snelheid gelanceerd kan worden, zou je vrijwel recht naar het eindpunt kunnen mikken. (violette lijn)

ook kun je, als je in de verte de prof al ziet aankomen, met grote snelheid behoorlijk verticaal gooien, en zal te de tomaat nog op tijd beneden zijn om de prof te treffen.

via de blauwe parabool is de snelheid lager dan in beide andere gevallen. Nog lagere parabolen vereisen een hogere snelheid, wat hogere ook.

Dus komt dat neer op het bepalen van het minimum van een functie, en dat laat ik graag aan de wiskundigeren over.

Dan komt daarna de check of dat minimum voldoende tijd laat aan de prof om het gegeven trefpunt te bereiken. Zoniet, dan wordt het plaatje iets anders. Maar het vraagstuk doet vermoeden dat de prof ruim de tijd krijgt.

Safe

Jan van de Velde schreef:De snelheid, versnelling en plaats van de prof gaan pas echt terzake doen zodra we de rest hebben uitgerekend.

als de tomaat met enorme snelheid gelanceerd kan worden, zou je vrijwel recht naar het eindpunt kunnen mikken. (violette lijn)

ook kun je, als je in de verte de prof al ziet aankomen, met grote snelheid behoorlijk verticaal gooien, en zal te de tomaat nog op tijd beneden zijn om de prof te treffen.

via de blauwe parabool is de snelheid lager dan in beide andere gevallen. Nog lagere parabolen vereisen een hogere snelheid, wat hogere ook.

Dus komt dat neer op het bepalen van het minimum van een functie, en dat laat ik graag aan de wiskundigeren over.

Dan komt daarna de check of dat minimum voldoende tijd laat aan de prof om het gegeven trefpunt te bereiken. Zoniet, dan wordt het plaatje iets anders. Maar het vraagstuk doet vermoeden dat de prof ruim de tijd krijgt.

Ik neem aan dat 'Jan' een tekening gemaakt heeft?

Volgens de opgave is de grootte van de optimale hoek niet gevraagd.

Wat wel belangrijk is, de tijd te bepalen die de tom onderweg is met minimale beginsnelheid.

Ga uit van de bewegingsverg van de tom kies A' (2m onder A) als oorsprong, stel v0 als de gevraagde snelheid en phi als de optimale hoek, richting naar B pos en richting omhoog pos, dan geldt:

\(x(t)=v_0\cos(\phi)t ~en~y(t)=2+v_0\cos(\phi)t-\frac{1}{2}gt^2\)

Natuurlijk moet gelden (voor zekere t):

\(20=v_0\cos(\phi)t ~en~0=2+v_0\cos(\phi)t-\frac{1}{2}gt^2\)

Er zijn dus drie var v0, phi en t en maar twee verg.

Maar de bedoeling is v0 te minimaliseren, dus elimineer phi uit beide verg dat geeft één verg met v0 en t, en differentiëer (impliciet). Bepaal dan dv0/dt en eis dat dit 0 is, dat geeft een verg waaruit t is op te lossen.

Eerst dus:

\(v_0\cos(\phi)=\frac{20}{t}~en~v_0\sin(\phi)=\frac{1}{2}gt-\frac{2}{t}\)

Nu beide kwadrateren en optellen, links komt dan v0² te staan (waarom?)!

Jan van de Velde

Waar is dat plaatje gebleven??

Zal de ouderdom wezen zeker, gewoon vergeten te plaatsen?

Maar geen nood, hij zat nog in de prullenbak

als de tomaat met enorme snelheid gelanceerd kan worden, zou je vrijwel recht naar het eindpunt kunnen mikken. (violette lijn)

ook kun je, als je in de verte de prof al ziet aankomen, met grote snelheid behoorlijk verticaal gooien, en zal te de tomaat nog op tijd beneden zijn om de prof te treffen.

via de blauwe parabool is de snelheid lager dan in beide andere gevallen. Nog lagere parabolen vereisen een hogere snelheid, wat hogere ook.

(NB de getekende blauwe parabool is een wilde gok (en bovendien een ellipssegment), maar het gaat om het principe)

Lathander

wat dachten jullie van deze:

"de cosinus van een hoek is gelijk aan de lengte van de aanliggende zijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde"

de lengte van de schuine zijde is gelijk aan het kwadraat van de som van de andere zijden... dus de vierkantswortel van 20²+(-2)² wat gelijk staat aan de vierkantswortel van 404... wat gelijk is aan 20.1 meter...

dan nog 20/20.1=0.9950371902

daar de arccosinus van nemen=0°5'58.807"

daar heb je hem:p

kan fout zijn

Safe

Evil Lathander schreef:wat dachten jullie van deze:

"de cosinus van een hoek is gelijk aan de lengte van de aanliggende zijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde"

de lengte van de schuine zijde is gelijk aan het kwadraat van de som van de andere zijden... dus de vierkantswortel van 20²+(-2)² wat gelijk staat aan de vierkantswortel van 404... wat gelijk is aan 20.1 meter...

dan nog 20/20.1=0.9950371902

daar de arccosinus van nemen=0°5'58.807"

daar heb je hem:p

kan fout zijn

Ik kan je gedachtengang niet volgen!?

Je berekent de hellingshoek van de rechte lijn in Jan's tekening en dan ...

Lathander

En dan heb ik hetgeen gevraagd is... klopt dat?

Jan van de Velde

Nee, dan heb je een hoek waaronder je met enorme snelheid moet gooien, en dat gaat de prof níet overleven, al is het maar een tomaat.

Het gaat om en plagerijtje, niet om een lugubere fruitmoord. [rr]

De juiste werphoek moet net onder de 45° liggen, (als de tak op dezelfde hoogte was als het profhoofd exact 45°) en de bijbehorende snelheid zal iets in de buurt van de 12-13 m/s liggen. Maar dat optimum berekenen valt ruim buiten mijn wiskundige capaciteiten.

(voorzover die een naam mogen hebben)

dhaeyer

Na wat afleiden zoals hierboven aangegeven vind ik voor de hoek 42,05° en voor de snelheid 13,32 m/s.

Goede schatting Jan of heeft u een simulatie uitgevoerd?

mvg

Dirk

dhaeyer

De prof bevindt zich op -8,1015 m als je de oorsprong legt in punt A.

mvg

Dirk

dhaeyer

Oeps. Rekenfoutje .De prof bevindt zich op 10,92 m.

Dirk

Jan van de Velde

dhaeyer schreef:Na wat afleiden zoals hierboven aangegeven vind ik voor de hoek 42,05° en voor de snelheid 13,32 m/s.

Goede schatting Jan of heeft u een simulatie uitgevoerd?

mvg

Dirk

eerst gewoon berekend voor een hoek van 45° als de prof geen 2 m lager zou staan, dat is een standaard-kogelbaantje en dat kan ik nog wel. Dan wéét ik (toevallig of niet), dat als het mikpunt lager ligt, dat het optimum dan ook een lagere hoek moet geven. Ik schat de hoek dus een tikje lager. En ook de snelheid.

En dán ga ik bevestiging zoeken: http://www.walter-fendt.de/ph11nl/projectile_nl.htm

En blijk ik er niet ver naast te zitten [rr]

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[MECHANICA] optimale hoek

[MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek

Re: [MECHANICA] optimale hoek