Oefening ivm afgeleiden

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 06-11-'06, 15:24

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Oefening ivm afgeleiden

Hoi,

ik vind de oplossing van de volgende oefening niet:
In een zandgroeve wordt zand gestapeld op een kegelvormige hoop. Via een lopende vand wordt bovenaan voortdurend zand bijgestort aan een constant tempo van 10m³ per minuut. De hoogte van de hoop is steeds 3/8 van de diameter van het grondvlak. Hoe snel veranderen de hoogte van de hoop en de straal van het grondvlak van de hoop op het moment dat deze hoop 4m hoog is?
Wat ik al geprobeerd heb:
\(h=\frac{3}{8}2r=\frac{3}{4}r\)
Dus op het moment dat de hoogte 4m is, is de straal 16/3. Het volume van de zandberg bedraagt op dat moment:
\( \frac{\pi \frac{16^2}{3^2}4}{3} = \frac{\frac{256 \cdot 9 \pi \cdot 36}{9}}{3}\)
\( = \frac{9 \pi \cdot 256 \cdot 36}{27}\)
\( = \frac{9 \pi \cdot 256 \cdot 36}{27} = \frac{82944\pi}{27} = 3072\pi\)
Nu weet ik echter niet meer hoe ik verder moet..

Moet ik h uitdrukken in functie van r, en daar de afgeleide van berekenen om de verandering in hoogte te vinden? En dan hetzelfde doen voor r?

Bedankt!

Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 06-11-'06, 15:52

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Oefening ivm afgeleiden

Voor het totale zandvolume geldt:
\(V(t) = V_0 + k \cdot t\)
Voor het volume van een kegel geldt:
\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
Zowel r als h als V zijn functies van de tijd t. Op elk moment moet gelden:
\(V_0 + k t = \frac{1}{3} \pi (r(t))^2 h(t)\)
De hoogte en de straal zijn gekoppeld:
\(h(t) = \frac{3}{4} r(t)\)
De bovenstaande formule wordt dus:
\(V_0 + k t = \frac{1}{3} \pi (r(t))^2 \frac{3}{4} r(t) = \frac{1}{4} \pi (r(t))^3\)
Je wilt weten hoe snel de straal veranderd. Hiervoor moet je dus de afgeleide van r naar de tijd bekijken. We nemen hiertoe van beide kanten de afgeleide:
\(k = \frac{1}{2} \pi (r(t))^2 \frac{dr(t)}{dt} \rightarrow \frac{dr(t)}{dt} = \frac{2 k}{\pi (r(t))^2}\)
Invullen:
\(\frac{dr(t)}{dt} = \frac{45}{64 \pi}\)
Omhoog

Bericht 06-11-'06, 16:09

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Oefening ivm afgeleiden

Tot en met deze regel snap ik het :
\(V_0 + k t = \frac{1}{3} \pi (r(t))^2 \frac{3}{4} r(t) = \frac{1}{4} \pi (r(t))^3\)


Vanaf dan ga ik de mist in... Ik heb afgeleiden nooit geleerd onder de vorm dr(t)/dt, dus ik snap de vermenigvuldiging niet...
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 06-11-'06, 17:07

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Oefening ivm afgeleiden

raintjah schreef:Tot en met deze regel snap ik het :
\(V_0 + k t = \frac{1}{3} \pi (r(t))^2 \frac{3}{4} r(t) = \frac{1}{4} \pi (r(t))^3\)
Vanaf dan ga ik de mist in...
Oh no, stay away from the mist!
Ik heb afgeleiden nooit geleerd onder de vorm dr(t)/dt
?

r is een functie van de tijd t. De afgeleide van die functie naar de tijd noteer je gewoon als:
\(\frac{d r(t)}{dt}\)
Dit is niet anders dan dat de afgeleide van f(x) naar x geschreven wordt als:
\(\frac{d f(x)}{dx}\)
, dus ik snap de vermenigvuldiging niet...
Welke vermenigvuldiging? Die vermenigvuldiging die ontstaat door het toepassen van de kettingregel?
Omhoog

Bericht 07-11-'06, 08:33

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Oefening ivm afgeleiden

Als ik het goed begrijp staat er dus dit:
\(\left(\frac{1}{4} \pi (r(t))^3\right)' = 3\cdot\frac{1}{4} \pi (r(t))^2\cdot\left(r(t)\right)'=\frac{3}{4} \pi (r(t))^2\cdot\left(\frac{dr(t)}{dt}\right)\)
Zoals je ziet kom ik op 3/4 en jij op 1/2.. Waar zit het fout? :)
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 07-11-'06, 09:34

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Oefening ivm afgeleiden

Waar zit het fout?   :)
Bij mij... iets te slordig geweest in mijn afleiding. :)
Omhoog

Bericht 07-11-'06, 15:02

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Oefening ivm afgeleiden

raintjah schreef:Hoi,
In een zandgroeve wordt zand gestapeld op een kegelvormige hoop. Via een lopende vand wordt bovenaan voortdurend zand bijgestort aan een constant tempo van 10m³ per minuut. De hoogte van de hoop is steeds 3/8 van de diameter van het grondvlak. Hoe snel veranderen de hoogte van de hoop en de straal van het grondvlak van de hoop op het moment dat deze hoop 4m hoog is?
Stijn
Even terzijde: Wordt die snelheid gevraagd in m/s of m/min en in hoeveel decimalen nauwkeurig?
Omhoog

Bericht 07-11-'06, 16:00

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Oefening ivm afgeleiden

Safe schreef:
raintjah schreef:Hoi,
In een zandgroeve wordt zand gestapeld op een kegelvormige hoop. Via een lopende vand wordt bovenaan voortdurend zand bijgestort aan een constant tempo van 10m³ per minuut. De hoogte van de hoop is steeds 3/8 van de diameter van het grondvlak. Hoe snel veranderen de hoogte van de hoop en de straal van het grondvlak van de hoop op het moment dat deze hoop 4m hoog is?
Stijn
Even terzijde: Wordt die snelheid gevraagd in m/s of m/min en in hoeveel decimalen nauwkeurig?


Ik denk per minuut.

Verder heb ik net zoveel informatie als jou. Ik weet dus niet op hoeveel decimalen.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”