[Wiskunde] Parabool

Cycloon

Bepaal de vergelijking van de parabool met brandpunt f(4,3) en met vergelijking van de richtlijn y + 1 = 0

Ok, analytische meetkunde is echt m'n ding niet, daarom heb ik niet echt een goed besef van hoe ik aan zoiets moet beginnen? Hoe pak ik dit het best aan? (dit lijkt me niet een al te moeilijke oefening, maar toch begrijp ik het niet echt [rr] ) En wat moet ik verstaan onder het principe van een richtlijn?

Safe

Cycloon schreef:Bepaal de vergelijking van de parabool met brandpunt f(4,3) en met vergelijking van de richtlijn y + 1 = 0

Ok, analytische meetkunde is echt m'n ding niet, daarom heb ik niet echt een goed besef van hoe ik aan zoiets moet beginnen? Hoe pak ik dit het best aan? (dit lijkt me niet een al te moeilijke oefening, maar toch begrijp ik het niet echt [rr] ) En wat moet ik verstaan onder het principe van een richtlijn?

De parabool is de verz v d ptn die op gelijke afstand liggen van een geg punt (brandpunt) en een geg lijn (richtlijn).

Bij een 'liggende' parabool y²=2px geldt: brandpunt F(p/2,0) en richtlijn x=-p/2.

(de oorsprong is een punt v d par en ligt midden tussen rilijn en brpnt, ga dat na!)

Cycloon

Sorry safe dat ik het moet zeggen maar daar ben ik geen stap verder mee [rr]

Edit: Ik heb hier ook wel een boel formuletjes voor me liggen maar ik kan ze gewoon niet toepassen omdat ik ze niet goed in de context kan plaatsen vermoed ik. Ik kan me niks voor ogen zien als ik dit soort van vragen krijg...

Safe

Cycloon schreef:Sorry safe dat ik het moet zeggen maar daar ben ik geen stap verder mee [rr]

Edit: Ik heb hier ook wel een boel formuletjes voor me liggen maar ik kan ze gewoon niet toepassen omdat ik ze niet goed in de context kan plaatsen vermoed ik. Ik kan me niks voor ogen zien als ik dit soort van vragen krijg...

Als je spiegelt in de lijn y=x krijg je de staande parabool. OK?

Spiegelen in de lijn y=x betekent y<->x (voor alle y en x), dus: x²=2py, met F(0,1/2p) als brandpunt en y=-1/2p als richtlijn

Maak nu een grafiek en zet F'(0,3) en de richtlijn y=-1 daarin. Welk punt is nu de top..., midden tussen F en de richtlijn dus T'(0,1), de verg wordt nu: x²=2p(y-1) Zie je dat? Nu p nog. 1/2p=yF'-yT'=3-1=2, dus p=4. Nu wordt de verg: x²=8(y-1).

Maar het geg brandpunt is F(4,3) en de richtlijn blijft y=-1.

Zie jij nu kans om de verg daarbij te vinden?

Opm: Het punt T(4,1) is nu de top. Het punt (4,4) behoort tot de par. Zie je dat?

Cycloon

Kben een hopeloos geval precies, ik zie het dus niet [rr]

Safe

Kben een hopeloos geval precies, ik zie het dus niet [rr]

Heb je de tekening gemaakt? Het 'zien' bedoel ik letterlijk in de tekening. Probeer een aantal ptn te tekenen waarvan de afstand tot F' even groot is als tot de richtlijn.

Overigens het punt (4,3) behoort tot de eerste par. De tweede par met top T(4,1) krijgen we door de eerste te verschuiven (dus een translatie) van de eerste par over de vector (4,0). Het punt (8,3) is dan een punt van de tweede par.

Wel, stel je vragen?

Cycloon

Ik vind de stappen die je doet soms maar heel raar maar ik leg ff uit wat ik doe:

Dus nu begrijp ik hoe ik de top bereken (gewoon midden tussen brandpunt en loodrechte afstand tot de richtlijn?). Dat is dan 4,1 zoals je zei. Nu staat de parabool toch al 'recht'? Je hebt toch een dalparabool? Waarom moet je dan nog eens gaan spiegelen?

Nuja ik weet de top maar verder ben ik daar toch niks mee? Ik heb dus een parabool met vgl x² = ay . Hoe bepaal ik die a dan? met a² = b² + c²? Ik kan dit wel toepassen met een ellips, maar waar liggen b en c bij een parabool dan?

EvilBro

Een andere insteek:

Als de richtlijn horizontaal is dan zal de parabool voldoen aan de algemene vergelijking:

\(y = a (x-b)^2 + c\)

ofwel een gewoon rechtop staande parabool. Hierin is a de 'scherpte' van de parabool, b de verplaatsing van de top in de x-richting en c de verplaatsing van de top in de y-richting.

Het brandpunt zit op (4,3). De richtlijn op y=-1. De top ligt halverwege de lijn loodrecht op de richtlijn door het brandpunt, ofwel (4,1) zoals je zelf al gevonden had (dat dit zo is kun je op verscheidene manieren beredeneren). Hieruit volgt dus dat b=4 en c=1. We hebben nu dus:

\(y = a (x-4)^2 + 1\)

Rest ons die a.

Je weet dat voor alle punten op de parabool geldt dat de afstand tot het brandpunt gelijk moet zijn aan de afstand tot de richtlijn. Omdat de richtlijn horizontaal loopt, is de kortste afstand naar de richtlijn altijd recht naar beneden (zoals ook bij de top). Bekijk nu de lijn vanuit het brandpunt horizontaal naar rechts tot op de parabool. Het punt waarin deze lijn de parabool raakt heeft dus ook de eigenschap dat hij net zover van het brandpunt verwijderd is als van de richtlijn. Met andere woorden: het punt moet net zo hoog boven de richtlijn liggen als het rechts van het brandpunt ligt. De afstand van hoe hoog het punt boven de richtlijn ligt is bekend. Het punt ligt immers op dezelfde hoogte als het brandpunt. De afstand is dus 4 (want y=3 van het brandpunt en y=-1 van de richtlijn). Dat betekent dus dat het punt ook 4 rechts van de top ligt, ofwel bij x=8. Dit kun je nu invullen in de gevonden formule:

\(3 = a (8-4)^2 + 1 \rightarrow 2 = 16 a \rightarrow a = \frac{1}{8}\)

Je hebt nu dus de vergelijking voor de parabool:

\(y = \frac{1}{8} (x-4)^2 + 1\)

Hopelijk geeft dit verhaal je enige 'feeling' voor dit soort problemen zodat je ook de ietwat algemenere uitleg kan volgen.

Safe

Cycloon schreef:Ik vind de stappen die je doet soms maar heel raar maar ik leg ff uit wat ik doe:

Dus nu begrijp ik hoe ik de top bereken (gewoon midden tussen brandpunt en loodrechte afstand tot de richtlijn?). Dat is dan 4,1 zoals je zei. Nu staat de parabool toch al 'recht'? Je hebt toch een dalparabool? Waarom moet je dan nog eens gaan spiegelen?

Nuja ik weet de top maar verder ben ik daar toch niks mee? Ik heb dus een parabool met vgl x² = ay . Hoe bepaal ik die a dan? met a² = b² + c²? Ik kan dit wel toepassen met een ellips, maar waar liggen b en c bij een parabool dan?

Ik merk dat je nu de hele zaak op een hoop gooit.

Je moet proberen de gedachtegang van begin af aan te volgen.

Allereerst dacht ik, dat je een paar dingen zou herkennen. Zoals y²=2px bv.

Heb je helemaal geen boek, syllabus of collegedictaat? Je kan niet zomaar ergens beginnen.

De par staat los van ellips en hyperbool in de gevolgde werkwijze.

Misschien is het verstandig, de dingen die je weet (van de parabool) op een rij te zetten. Dan kunnen 'we' daarop inhaken.

In ieder geval heb je het vinden van de top nu door! Zoek nog meer ptn (gewoon door te tekenen en te meten) die aan de gestelde eis voldoen.

Cycloon

Bedankt evilbro, dat versta ik dus wel

Toch bedankt safe maar ik kan je redeneringen jammer genoeg niet echt volgen. Anyway analytische meetkunde is al sinds het middelbaar een probleemstuk in m'n wiskunde repertoire [rr]

oktagon

Probeer dit eens:

of dezelfde;trek je niks aan van de uierzusjes die soms verschijnen!:

oktagon

2e uitleg met schema:

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Parabool

[Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool

Re: [Wiskunde] Parabool