Machtswortels uit complexe getallen

kotje

Zoek de 6e machtswortels uit

\(1+\sqrt{3}i\)

.

Safe

Zoek de 6e machtswortels uit
\(1+\sqrt{3}i\)
.

los op:

\(z^6=1+\sqrt{3}i\)

, dwz

\(|z^6|=|z|^6=2\)

, en

\((\cos(\phi)+i\sin(\phi))^6=\cos(6\phi)+i\cdots\in(6\phi)=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{1}{2}sqrt{3}\)

Cycloon

\(1+\sqrt{3}i = 2e^{\frac{\pi}{3}}\)

\( z={^{6}\sqrt{2}e^{\frac{\frac{\pi}{3} + 2k \pi}{6}} met k = (0,1,2,3,4,5)\)

Nu dus voor die 6 k's uitrekenen en je hebt je 6 wortels.

TD

Het idee is dus dat je je complex getal herschrijft in exponentiële notatie, met een modulus en argument.

\(z = x + iy = re^{i\theta} ; , ; c = a + ib = se^{i\phi}\)

We zoeken nu algemeen de n-de-machtswortels uit c, dus alle z zodat \(c=z^n\). Dus:

\(c = z^n \Leftrightarrow se^{i\phi } = \left( {re^{i\theta } } \right)^n \Leftrightarrow se^{i\phi } = r^n e^{\inth\eta } \Leftrightarrow \left{ \begin{array}{l} s = r^n \phi + 2k\pi = n\theta \end{array} \right.\)

Dit levert de volgende n oplossingen (k gaat van 0 tot n-1).

\(z = \sqrt[n]{s}e^{i\frac{{\phi + 2k\pi }}{n}} \)

Hiermee hebben we direct een algemeen resultaat. Neem in jouw voorbeeld n = 6 uiteraard.

Cycloon

Ik zie dat ik een i ben vergeten in m'n exponent van e, daarvoor m'n excuses

kotje

In goniometrische vorm:

\(\sqrt[6]{2}(\cos(\frac{\theta+2k\pi}{6})+i\sin(\frac{\theta+2k\pi}{6})) k=(0,...,5)\)

\(2=\vert{1+\sqrt{3} i\vert=\sqrt{1+3} \theta=\arctan\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\pi}{3}\)

Cycloon

klopt als een bus

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Machtswortels uit complexe getallen

Machtswortels uit complexe getallen

Re: Machtswortels uit complexe getallen

Re: Machtswortels uit complexe getallen

Re: Machtswortels uit complexe getallen

Re: Machtswortels uit complexe getallen

Re: Machtswortels uit complexe getallen

Re: Machtswortels uit complexe getallen