Limietje
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Re: Limietje
\(\lim_{x\rightarrow 0}{(\cos{x})^\frac{1}{x^2}=\)
\(\lim_{x\rightarrow 0}\ln({(\cos{x})^\frac{1}{x^2}) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\cos{x})}{x^2}\)
Nu l'Hôpital toepassen\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin{x}}{2x\cos(x)} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x} \cdot \frac{-1}{2\cos(x)} = -\frac{1}{2}\)
Dus \(\lim_{x\rightarrow 0} (\cos{x})^{\frac{1}{x^2}}= \frac{1}{\sqrt{e}}\)
- Berichten: 3.330
- Berichten: 3.330
Re: Limietje
Toch akkoord. Ik had je laatste lijn niet gezien.Sorry.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Limietje
Leuk probleem. Nu een ander:
\(\lim_{\nrightarrow \infty}\left(\frac{2\arctan n}{\pi}\right)^n = ?\)
- Berichten: 24.578
Re: Limietje
Ga over naar 1/k en neem de rechterlimiet voor k naar 0. Taylor van arctan(1/k) rond k = 0+ is pi/2-k+...
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{2\arctan n}}{\pi }} \right)^n = \mathop {\lim }\limits_{k \to 0^ + } \left( {\frac{{2\arctan \frac{1}{k}}}{\pi }} \right)^{\frac{1}{k}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to 0^ + } \left( {\frac{{2\left( {\frac{\pi }{2} - k} \right)}}{\pi }} \right)^{\frac{1}{k}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to 0^ + } \left( {1 - \frac{2}{\pi }k} \right)^{\frac{1}{k}} = e^{ - \frac{2}{\pi }} \)
Het kan natuurlijk ook met L'Hôpital."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Limietje
Eventueel voor kotje, die eerste limiet ook op deze manier. Rond x = 0 geldt cos(x) ≈ 1-x²/2, dus:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\cos x} \right)^{\frac{1}{{x^2 }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{{x^2 }}{2}} \right)^{\frac{1}{{x^2 }}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left( {1 - \frac{1}{2}y} \right)^{\frac{1}{y}} = e^{ - \frac{1}{2}} = \frac{1}{{\sqrt e }}\)
Waarbij opnieuw de limiet-definitie van e werd gebruikt."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Limietje
Dat verondersteld wel dat je weet hoe de begintermen van de machtreeksen er uit zien. Maar op zich wel correct.
- Berichten: 24.578
Re: Limietje
Klopt, maar omdat L'Hôpital al de revue gepasseerd had, dacht ik een andere aanpak te tonen.Dat veronderstelt wel dat je weet hoe de begintermen van de machtreeksen er uit zien. Maar op zich wel correct.
Het hangt van de limiet af, soms is de ene methode makkelijker dan de andere (Taylor <-> L'Hôpital).
Was trouwens wel een 'leuke limiet'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Limietje
Toch zou ik nog graag eens aangetoond zien:
\(\lim_{\nrightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x\)
.Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Limietje
Dat geldt per definitie. Als jij een andere definitie hanteert (zoals de reeks), dan moet je enkel de equivalentie van die definities aantonen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Limietje
Je bedoelt dat je e kunt definiëren alsDat geldt per definitie. Als jij een andere definitie hanteert (zoals de reeks), dan moet je enkel de equivalentie van die definities aantonen.
\(\lim_{\nrightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\)
Dan heb je natuurlijk nog niet aangetoond dat\(\lim_{\nrightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x\)
Wat neem je dan als definitie voor e?Toch zou ik nog graag eens aangetoond zien:
- Berichten: 24.578
Re: Limietje
Ik bedoelde dat je e^x kunt definiëren als die (tweede) limiet, zoals kotje ze gaf.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Limietje
Dat begrijp ik niet. Het getal e kun je definiëren. Machten van dat getal hoef je niet apart te definiëren; daarvoor zijn algemene regels voor machtsverheffen van toepassing. e^2 is per definitie exe en e^(1/2) is per definitie [wortel]e. = [wortel]2,7182818...Ik bedoelde dat je e^x kunt definiëren als die (tweede) limiet, zoals kotje ze gaf.