\(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
Laatste berichten
-
08:06
Schroefdraad berekening 6
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Oneigenlijke Integraal
-
- Berichten: 3.330
Oneigenlijke Integraal
Toon aan:
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Oneigenlijke Integraal
De truc bestaat erin het kwadraat te zoeken door te integreren over een vierkant:
\(\left( {\int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - x^2 } dx} } \right)^2 = \int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - x^2 } dx} \int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - y^2 } dy} = \int\limits_0^{ + \infty } {\int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - \left( {x^2 + y^2 } \right)} dxdy} } \)
Nu kan je overgaan op poolcoördinaten, de exponent is dan -r² maar er komt mooi een r bij:\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\int\limits_0^{ + \infty } {re^{ - r^2 } drdt} } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ { - \frac{1}{2}e^{ - r^2 } } \right]_0^{ + \infty } dt} = \frac{\pi }{2}\left( 0 - \left( - \frac{1}{2} \right) \right) = \frac{\pi }{4}\)
Nu nog even de vierkantswortel nemen..."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Oneigenlijke Integraal
Nog eentje. Toon aan dat
\(\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-2x\cos(t)+x^2)}{x}dx = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}(t-\pi)^2\)
-
- Berichten: 94
Re: Oneigenlijke Integraal
nu we toch bezig zijn:
bewijs dat
bewijs dat
\(\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\)
Hint : vergelijk met \(\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{\exp (xy)}dydx\)
.Re: Oneigenlijke Integraal
\(\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{\exp (xy)}dydx = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{\exp (xy)}dxdy\)
Dan is\(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx = \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+y^2}dy = \arctan(y)|_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2}\)
-
- Berichten: 24.578
Re: Oneigenlijke Integraal
Die laatste kan ook met residurekening: iets langer, maar ook leuk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Re: Oneigenlijke Integraal
De methode die men gebruikt om aan te tonen dat:
Maar als men daarvan gebruik maakt kan ik wel aantonen dat:
\(\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x} dx=\frac{\pi}{2}\)
begrijp ik niet.Maar als men daarvan gebruik maakt kan ik wel aantonen dat:
\(\int_0^{+\infty}\frac{\sin^3{x}}{x} dx=\frac{\pi}{4}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Oneigenlijke Integraal
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Oneigenlijke Integraal
Kun je ookkotje schreef:De methode die men gebruikt om aan te tonen dat:
\(\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x} dx=\frac{\pi}{2}\)begrijp ik niet.
Maar als men daarvan gebruik maakt kan ik wel aantonen dat:
\(\int_0^{+\infty}\frac{\sin^3{x}}{x} dx=\frac{\pi}{4}\)
\(\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2{x}}{x} dx\)
uitrekenen?-
- Berichten: 24.578
Re: Oneigenlijke Integraal
Convergeert die wel? Volgens mij niet, maar het gevoel kan je bedriegen natuurlijk 
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Oneigenlijke Integraal
In dat geval, bewijs dat dat ding niet bestaat (of oneindig is).Convergeert die wel? Volgens mij niet, maar het gevoel kan je bedriegen natuurlijk
N.B.
\(\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2n+1}{x}}{x} dx = \frac{\pi}{4^n}\left( \begin{array}{cc}2n-1n-1\end{array} \right)\)
(Dit volgt uit oude aantekeningen. qed)-
- Berichten: 3.751
Re: Oneigenlijke Integraal
PeterPan schreef:Nog eentje. Toon aan dat
\(\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-2x\cos(t)+x^2)}{x}dx = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}(t-\pi)^2\)
krijgen we een tip?
Re: Oneigenlijke Integraal
Dat ding schreeuwt om gedifferentieerd te worden.eendavid schreef:PeterPan schreef:Nog eentje. Toon aan dat
\(\int_{0}^{1} \frac{\ln(1-2x\cos(t)+x^2)}{x}dx = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}(t-\pi)^2\)
krijgen we een tip?
-
- Berichten: 997
Re: Oneigenlijke Integraal
\(\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2}{x}}{x} dx = \lim_{r \rightarrow \infty } \left( \int_0^{r}\frac{1}{2x} dx - \int_0^{r} \frac{\cos 2x}{2x} dx \right) = \infty\)
Re: Oneigenlijke Integraal
\(\int_0^{\infty}\frac{\sin^{2}{x}}{x} dx = \lim_{r \rightarrow \infty } \left( \int_0^{r}\frac{1}{2x} dx - \int_0^{r} \frac{\cos 2x}{2x} dx \right) = \infty\)
\( \int_0^{\infty}\frac{1}{2x} dx - \int_0^{\infty} \frac{\cos 2x}{2x} dx = \infty - \infty = ?\)
