Wat ik me wel afvraag is het volgende. Onder fysici wordt wel eens gezegd dat voor een topologicus alles oppervlakken equivalent zijn zolang ze hetzelfde aantal gaten bevatten (en dan nog wat nuances rond singulariteiten [rr] ). Dus, redeneer ik, is de uitspraak dat elk gesloten n-oppervlak homeomorf is met een n-sfeer een trivialiteit. Het lijkt me zeer interessant om te weten waar het schoentje wringt. Bijvoorbeeld de punt van een kegel kan je toch makkelijk naar een vlak omvormen? of niet?
Het blijkt bijna onmogelijk om hierover informatie op het niveau van een theoretisch fysicus te vinden, die toch een beeld schetst van wat er gebeurt. Ik begrijp bijvoorbeeld niet dat Ricci stroming (als ik het goed begrijp een eigenschap van de geometrie) voor afvlakking kan zorgen. Het is niet zo dat ik dit voor iets nodig heb ofzo, meer uit interesse, dus als je niet wil hoef je je nu ook weer niet uit te sloven.
Wat ik me wel afvraag is het volgende. Onder fysici wordt wel eens gezegd dat voor een topoloog alle oppervlakken equivalent zijn zolang ze hetzelfde aantal gaten bevatten. Dus, redeneer ik, is de uitspraak dat elk gesloten n-oppervlak homeomorf is met een n-sfeer een trivialiteit. Het lijkt me zeer interessant om te weten waar het schoentje wringt. Bijvoorbeeld de punt van een kegel kan je toch makkelijk naar een vlak omvormen? of niet?
Het blijkt bijna onmogelijk om hierover informatie op het niveau van een theoretisch fysicus te vinden, die toch een beeld schetst van wat er gebeurt. Ik begrijp bijvoorbeeld niet dat Ricci stroming (als ik het goed begrijp een eigenschap van de geometrie) voor afvlakking kan zorgen. Het is niet zo dat ik dit voor iets nodig heb ofzo, meer uit interesse, dus als je niet wil hoef je je nu ook weer niet uit te sloven.
Wat voor een vlak geldt geldt niet voor hogere dimensies. Om het eenvoudig te houden, het volgende voorbeeld in 3.
Een binnenband van een auto (zonder ventiel) is een gesloten oppervlak maar duidelijk niet homeomorf met een bol.
Er zijn zelfs gesloten oppervlakken waar geen onderscheid gemaakt kan worden tussen binnenkant en buitenkant (fles van Klein).
PeterPan schreef:Een binnenband van een auto (zonder ventiel) is een gesloten oppervlak maar duidelijk niet homeomorf met een bol.
Er zijn zelfs gesloten oppervlakken waar geen onderscheid gemaakt kan worden tussen binnenkant en buitenkant (fles van Klein).
ok maar een band bevat duidelijk een gat en voldoet dus niet aan de eis dat elke gesloten kromme continu vervormd kan worden tot een punt. mijn vraag is dat als er geen gat is de stelling dan toch een trivialiteit is?
PeterPan schreef:
Een binnenband van een auto (zonder ventiel) is een gesloten oppervlak maar duidelijk niet homeomorf met een bol.
Er zijn zelfs gesloten oppervlakken waar geen onderscheid gemaakt kan worden tussen binnenkant en buitenkant (fles van Klein).
ok maar een band bevat duidelijk een gat en voldoet dus niet aan de eis dat elke gesloten kromme continu vervormd kan worden tot een punt. mijn vraag is dat als er geen gat is de stelling dan toch een trivialiteit is?
Ok, ik dacht dat het je om de geslotenheid van het oppervlak ging. Het oppervlak zelf bevat geen gat.
Maar dan klopt je verhaal nog niet!
Er bestaan 3 dimensionale oppervlakken homeomorf met een bol die de ruimte in 2 delen verdelen. Het ene deel is homeomorf met het gebied buiten een bol en het andere is NIET homeomorf met de bol. (Horned sfeer).
Er bestaan 3 dimensionale oppervlakken homeomorf met een bol die de ruimte in 2 delen verdelen. Het ene deel is homeomorf met het gebied buiten een bol en het andere is NIET homeomorf met de bol. (Horned sfeer).
ok, ik begrijp min of meer waarom het niet zo triviaal is dan ik dacht. Bedankt!
.