ik ben bezig met het leren maximaliseren van functies met meerdere veranderlijken. Nu probeer ik enkele oefeningen op te lossen, maar het lukt me toch niet zo geweldig goed. Misschien kunnen jullie me een duwtje in de rug geven:
De maximale winst is berekend:Veronderstel dat een monopolist een goed aanbiedt op twee verschillende en gescheiden markten. Hij kan op beide markten een verschlilende prijs vragen voor zijn product. Elke markt wordt gekenmerkt door zijn eigen vraagfunctie Qi (i=1,2) voor dat product. De functie\(Q_i:\rr^+ \rightarrow \rr^+: p_i \mapsto q_i = Q_i(p_i)\)geeft dus aan hoeveel eenheden qi van het goed gekocht worden door markt i als de eenheidsprijs pi is. Hier is het handig de markten te beschrijven in termen van een inverse vraagfunctie\(P_i=Q_i^{-1}\). De inverse vraagfunctie\(P_i:\rr^+ \rightarrow \rr^+: q_i \mapsto p_i = P_i(q_i)\)geeft dus aan wat de eenheidsprijs pi is die men in markt i voor het goed betaalt, als er qi eenheden aangeboden worden. We beschouwen bij wijze van voorbeeld volgende concrete inverse vraagfuncties:\(P_1(q_1)=105-5q_1 ; P_2(q_2)=71-6q_2\).
We nemen aan dat de totale productiekost voor de monopolist enkel afhangt van de totale productie\(q=q_1+q_2\). We stellen volgende concrete totale kostfunctie K voor;\(K:\rr^+ \rightarrow \rr: q \mapsto K(q) = 20+15q+q^2\)
\(W^*=W(q_1^*,q_2^*)=379\)
met \((q_1^*,q_2^*)=(7,3)\)
Volgende vragen krijg ik echter niet opgelost:(Mijn) antwoord op 1.:Veronderstel nu dat er een overheid is die beide markten controleert en die overweegt om
een accijnsbelasting te heffen: t1 per verkochte eenheid in markt 1, t2 per verkochte eenheid
in markt 2.
1.
Noteer met q1(t1, t2) resp. q2(t1, t2) de hoeveelheden die de monopolist op markt 1
resp. markt 2 moet aanbieden om zijn winst te maximaliseren gegeven het feit dat
de overheid een accijnsbelasting (t1, t2) heft.
Veronderstel dat de overheid de accijnsbelasting t1 in markt 1 laat stijgen terwijl ze de
accijnsbelasting t2 in markt 2 onveranderd laat. Verwacht je een effect op q2(t1, t2)?
Waarom wel of waarom niet? Argumenteer op basis van economische intu¨ıtie.
2.
Controleer wiskundig of je vermoeden in 1 correct is. Pak dit zorgvuldig en stapsgewijs
aan. Begin dus met het nauwkeurig wiskundig formuleren van het achterliggende
optimalisatieprobleem (wat is de te maximaliseren functie? . . . ).
De aangeboden hoeveelheid in markt 1 zal afnemen, terwijl die in markt 2 zal toenemen, omdat aanbieden in markt 2 nu voordeliger wordt.
(Mijn) antwoord op 2.:
De nieuwe kosten functie wordt nu:
\(K:\rr^+ \rightarrow \rr: q \mapsto K(q) = 20+15(q_1+q_2)+(q_1+q_2)^2+t_1q_1+t_2q_2\)
De winst wordt dus gegeven door:Opbrengs(p*q)-kost=
\(q_1(105-5q_1)+q_2(71-6q_2)-20-15(q_1+q_2)-(q_1+q_2)^2-t_1q_1-t_2q_2\)
Als ik die vergelijking vereenvoudig kom ik tot:\(=q_1(90-t_1)+q_2(56-t_2)-6q_1^2-7q_2^2-2q_1q_2-20\)
Dat is volgens mij de te maximaliseren functie, maar dat maximaliseren lukt me niet echt door die t1 en t2. Zou ik die taksen als constante moeten beschouwen of als variabele? Ik denk als constante...Groeten,
Stijn
Edit:
Of misschien t2 als constante en t1 als variabele?
Edit2:
Of gewoon een t1 en t2 kiezen. De hoeveelheid bij winstmaximalisatie uitrekenen, dan t1 verhogen, en nogmaals uitrekenen en kijken wat het effect is op q?
