bewijs van een limiet

maccadam

Bewijs m.b.v. de definitie van een limiet dat voor x->1 (x²+3)/(x³+1) -> 2

Dit is een oefening die ik moet bewijzen via de epsilon-delta-definitie van een limiet. Er staat een voorbeeld uitgewerkt in de syllabus, maar ik versta de _werkwijze_ niet echt goed...

Kan iemand me uitleggen hoe je dergelijke oefeningen oplost en misschien in concreto deze kan oplossen?

Alvast hartelijk bedankt!

Thomas

iterums

euhm gewoon de x invullen aangezien deze functie continu is over R {-1}

1^2+3 / 1^3 +1 = 2

Rov

Dat weet de vraagsteller waarschijnlijk ook, maar hij wil dit bewijzen via de \(\epsilon , \delta\)-definitie:

Als

\(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L\)

dan

\(\forall \epsilon > 0: \exists \delta > 0: \forall x \in dom f : 0 < | x - a | > \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon\)

Ik ga me niet op glas ijs wagen om dit te bewijzen, dat laat ik aan anderen over

.

maccadam

Hehe thx voor verduidelijking Rov,

iemand een idee??

@iterums: ge zijt van kortrijk, KULAK?

PeterPan

Bij gegeven

\(\epsilon > 0\)

moet je dus een

\(\delta > 0\)

vinden zo dat als 0<|x-1|< delta.gif geldt dat

\(\left| \frac{x^2+3}{x^3+1} - 2 \right|<\epsilon\)

We maken het ons een stuk makkelijker door x-1 te vervangen door y.

Dan wordt het:

Als 0<|y|< delta.gif geldt dat

\(\left| \frac{y(4+5y+2y^2)}{2+3y+3y^2+y^3} \right|<\epsilon \)

Kies een delta.gif < ½ waarbij tevens delta.gif < epsilon.gif/22.

Dan is

\(\left| \frac{y(4+5y+2y^2)}{2+3y+3y^2+y^3} \right| = \frac{|y||(4+5y+2y^2)|}{|1+(1+y)^3|} < \frac{\delta (4+5+2)}{\frac{1}{2}} < \epsilon\)

iterums

maccadam schreef:Hehe thx voor verduidelijking Rov,

iemand een idee??

@iterums: ge zijt van kortrijk, KULAK?

Hehe, kga nog nie naar unief/hogeschool. En oh ja sorry dat ik te rap antwoordde op je vraag zonder ze goed te lezen.

physicalattraction

Peter Pan, hoe kom je in je laatste vergelijking aan de teller en noemer na het eerste ongelijk-teken? Ik zou zeggen, daar je

\(|y| < \delta < \frac{1}{2} \)

hebt gekozen, dat

\( \frac{|y||(4+5y+2y^2)|}{|1+(1+y)^3|} < \delta \cdot \left|4+5 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot 2 \cdot (\frac{1}{2})^2\right| \cdot \left|\frac{1}{1+(1-\frac{1}{2})^3}\right| < \frac{56}{9} \delta \)

PeterPan

Ik heb HEEL ruw geschat.

Als |y|<1/2 dan is |y|<1 en dus -1<y<1 en de teller is zeker kleiner dan 4+5.1+2.1.

Voor de noemer is 1 + (1+y)^3 >1>1/2 als -1<y<1

TD

Uit de afschatting van delta kan je een bovengrens (en ondergrens) halen voor x, om verder af te schatten.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

bewijs van een limiet

bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet

Re: bewijs van een limiet