[lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Eliminator

Mij lukt de volgende opgave niet. Ik moet bewijzen dat iedere v uit V op precies één manier geschreven kan worden als v = c1v1 + ... + cnvn met c1,...,cn in R, waarbij {v1,...,vn} een basis is van V.

Kan iemand mij helpen?

TD

Een basis is per definite voortbrengend, dus je weet al dat v te schrijven is als een lineaire combinatie van de basisvectoren.

Er rest je dan nog aan te tonen dat die lineaire combinatie uniek is:

- ga uit van twee lineaire combinaties met verschillende coëfficiënten, maak het verschil van beiden, dit moet uiteraard 0 zijn.

- toon aan dat daardoor de coëfficiënten gelijk moeten zijn (gebruik de lineaire onafhankelijkheid van de basis).

Eliminator

Bedoel je dan: v= b1v1+...+bnvn met b1,...,bn in R.

En dan v-v=(c1-b1)v1+...+(cn-bn)vn

Ik weet dan niet hoe ik verder moet.

TD

Je schrijft v dus op twee manieren:

\(\vec v = a_1 \vec v_1 + \ldots a_n \vec v_n = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i \vec v_i } \)

\(\vec v = b_1 \vec v_1 + \ldots b_n \vec v_n = \sum\limits_{i = 1}^n {b_i \vec v_i } \)

Maak het verschil:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {a_i \vec v_i } - \sum\limits_{i = 1}^n {b_i \vec v_i } = \vec 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i - b_i } \right)\vec v_i } = \vec 0\)

Maar de v's zijn basisvectoren, dus lineair onafhankelijk.

Wat zegt dat over de coëfficiënten als je de nulvector wil krijgen?

Rov

Ja kan v schrijven als:

\(v = \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_rv_r\)

met

\(\lambda_r \in \rr\)

maar ook als

\(v = \mu_1v_1 + \mu_2v_2 + ... + \mu_rv_r\)

met

\(\mu_r \in \rr\)

Maak je het verschil:

\( (\mu_1 - \lambda_1) v_1 + (\mu_2 - \lambda_2) v_2 + ... + (\mu_r - \lambda_r) v_r = 0\)

Maar de basis is lineair onafhankelijk en dus is de factor voor de basisvector gelijk aan nul, anders gezegd:

\(\mu_1 = \lambda_1\)

,

\(\mu_2 = \lambda_2\)

in het algemeen:

\(\mu_r = \lambda_r\)

Die mu's of lambda's of hoe je het ook noemt zijn dus uniek.

Edit: Damn, te laat

Eliminator

Oh ok, bedankt voor jullie uitleg! Ik kwam niet op de stap om v op nog een manier te schrijven met andere coëfficiënten.

TD

Klassieke strategie om uniciteit te bewijzen, uit het ongerijmde: veronderstel niet uniek en laat zien dat ze gelijk zijn (equivalent: dat hun verschil 0 is).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[lineaire algebra] Basis en vectorruimten

[lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Re: [lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Re: [lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Re: [lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Re: [lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Re: [lineaire algebra] Basis en vectorruimten

Re: [lineaire algebra] Basis en vectorruimten