V.Hoe bewijs ik dat
\(<f,g> = \int^b_a f(x)g(x)dx\)
De prof zei dat ik een stelling uit de analyse nodig had, maar welke [rr] .(om eventuele notatieverwarringen te voorkomen <f,g> betekent het inproduct van f en g.)
Laatste berichten
-
08:56
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 11
-
23:56
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling
-
22:05
projectiel 7
-
21:48
Verschil tussen deze 2 vragen 4
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Bewijs ivm inproductruimten
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 2.242
Bewijs ivm inproductruimten
V is een vectorruimte die alle functies die continu zijn op [a,b] omvat. Stel f en g twee functies V.
Hoe bewijs ik dat
(om eventuele notatieverwarringen te voorkomen <f,g> betekent het inproduct van f en g.)
V.Hoe bewijs ik dat
(om eventuele notatieverwarringen te voorkomen <f,g> betekent het inproduct van f en g.)
-
- Berichten: 2.906
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Volgens mij zijn er heleboel inproducten te definieren op deze ruimte. De vraag zou dus volgens mij moeten zijn: Bewijs dat
En dat is gewoon simpelweg alle axioma's voor een inproduct controleren. Heb je geen stelling voor nodig. [rr]
\( \int^b_a f(x)g(x)dx\)
een inproduct definieert.En dat is gewoon simpelweg alle axioma's voor een inproduct controleren. Heb je geen stelling voor nodig. [rr]
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Het is niet zo moeilijk, opdat deze integraal een inproduct zou definiëren hebben we nodig:
- symmetrie: vermits de vermenigvuldiging commutatief is, zal de integraal van fg gelijk zijn aan die van gf.
- bilineariteit: de integraal is lineair, dus f (of g) vervangen door een lineaire combinatie is geen probleem
- positief definitiet: het inproduct van f met zichzelf levert de integraal van f² en een kwadraat is nooit negatief.
- symmetrie: vermits de vermenigvuldiging commutatief is, zal de integraal van fg gelijk zijn aan die van gf.
- bilineariteit: de integraal is lineair, dus f (of g) vervangen door een lineaire combinatie is geen probleem
- positief definitiet: het inproduct van f met zichzelf levert de integraal van f² en een kwadraat is nooit negatief.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.242
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Ik volg...TD! schreef:- symmetrie: vermits de vermenigvuldiging commutatief is, zal de integraal van fg gelijk zijn aan die van gf.
- bilineariteit: de integraal is lineair, dus f (of g) vervangen door een lineaire combinatie is geen probleem
Dat- positief definitiet: het inproduct van f met zichzelf levert de integraal van f² en een kwadraat is nooit negatief.
\(\left<x,x \right> \geq 0\)
, \( \forall x \in V\)
snap ik, maar voor \(\left<x,x \right> = 0\)
slechts als x=0 zou dat betekenen.\(\left<f,f \right> = \int^b_a f²(x)dx = 0\)
Dan zou f een soort "nulelement voor functies" moeten zijn [rr] Hoe controleer ik dat axioma?-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs ivm inproductruimten
De laatste voorwaarde stelt dat <f,f> > 0 moet zijn, tenzij f de nulfunctie is, f(x) = 0 voor alle x.
Indien f = 0, dan is natuurlijk ook f² = 0 en dan is de integraal van f² over een interval 0.
Iets subtieler om netjes te doen, maar intuïtief eenvoudig: als f niet de nulfunctie is, dan is er ergens een f² > 0 en dus is de oppervlakte onder f² ook groter dan 0. Continuiteit impliceert dat het niet gewoon losse punten groter dan 0 zijn, dan zou de integraal nog 0 kunnen zijn, je hebt dus een a zodat f(a)² > 0 en uit continuiteit volgt dat er zelfs een omgeving van a is waarop f² > 0.
Indien f = 0, dan is natuurlijk ook f² = 0 en dan is de integraal van f² over een interval 0.
Iets subtieler om netjes te doen, maar intuïtief eenvoudig: als f niet de nulfunctie is, dan is er ergens een f² > 0 en dus is de oppervlakte onder f² ook groter dan 0. Continuiteit impliceert dat het niet gewoon losse punten groter dan 0 zijn, dan zou de integraal nog 0 kunnen zijn, je hebt dus een a zodat f(a)² > 0 en uit continuiteit volgt dat er zelfs een omgeving van a is waarop f² > 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 91
Re: Bewijs ivm inproductruimten
De Veys vraagt ook altijd van die moeilijke dingen...
-
- Berichten: 2.242
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Ok, bedankt voor de hulp.
.
Deze viel nog mee, maar veel van zijn "triviale" vragen zijn iets moeilijker dan hij doet blijkenDe Veys vraagt ook altijd van die moeilijke dingen...
.-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Echt 'moeilijk' kan je dit toch niet noemen, zoiets als examenvraag voor lineaire algebra zou een cadeautje zijn
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 39
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuïteit. (ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)
Het had in elk geval iets te maken met die continuïteit. (ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)
-
- Berichten: 2.242
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Minder koekjes eten volgende lesMattia schreef:Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuïteit.
.Ooh wat haat ik Olivié en zijn rotprogrammeren(ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)
.-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Dat zou goed kunnen, zoals ik al zei heb je namelijk voor die laatste eigenschap continuïteit nodig om het netjes aan te tonen.Mattia schreef:Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuïteit. (ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 39
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Het is toch juist wat ik zeg, niet?Rov schreef:Minder koekjes eten volgende lesMattia schreef:Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuïteit.
Ooh wat haat ik Olivié en zijn rotprogrammeren(ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs ivm inproductruimten
Misschien nog even duiden: als f niet de nulfunctie is op het interval [a,b], dan is er een p in [a,b] zodat f(p) verschillend is van 0.
Door de continuïteit van f, geldt dan dat f verschillend is van 0 op een omgeving van p, dus voor x in (p-e,p+e) voor een zekere e >0.
Je kan de integraal dan opsplitsen:
Door de continuïteit van f, geldt dan dat f verschillend is van 0 op een omgeving van p, dus voor x in (p-e,p+e) voor een zekere e >0.
Je kan de integraal dan opsplitsen:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)^2 dx} = \int\limits_a^{p - \varepsilon } {f\left( x \right)^2 dx} + \int\limits_{p - \varepsilon }^{p + \varepsilon } {f\left( x \right)^2 dx} + \int\limits_{p + \varepsilon }^b {f\left( x \right)^2 dx} \)
Nu is de middelste integraal groter dan 0, de andere twee zijn minimaal 0 dus het totaal is groter dan 0."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
