[Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 06-12-'06, 17:38

Kimbo Kastekniv

[Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Mij lukt de volgende opgave niet:

Gegeven is een vectorruimte V en lineaire deelruimten U en W van V. Stel dat (u1,...,Um) een onafhankelijk stelsel in U is en (w1,...,wn) een onafhankelijk stelsel in W. Stel verder dat
\(U\cap W= \left{ \begin{array}{c}0\end{array} \right}\)
. Bewijs dat het stelsel (u1,...,um,w1,...,wn) onafhankelijk is. Met
\(U\cap W= \left{ \begin{array}{c}0\end{array} \right}\)
wordt bedoeld dat lineaire deelruimte U en W elkaar niet overlappen.

Alvast bedankt voor jullie hulp!!!
Omhoog

Bericht 08-12-'06, 14:10

Mattia

Berichten: 39

Re: [Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Weet je de dimensies van U, W en V?
Omhoog

Bericht 08-12-'06, 14:22

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: [Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Waarschijnlijk niet, anders kon je de dimensiestelling gebruiken.
Omhoog

Bericht 08-12-'06, 14:26

Mattia

Berichten: 39

Re: [Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Hmm, het gaat ook zonder.

Je moet bewijzen dat

a1*u1+....+am*um+b1*w1+.....bn*wn=0

Heel met de u's is lin onafh. in U en het deel met de w's is lin onafh. in W, aangezien W en U buiten de nulvector geen gezamelijke elementen hebben kan je een element in U niet schrijven als lin comb. van vectoren uit W en omgekeerd. Dit betekent dus dat a1=a2=...=am=b1=...=bn.

Mijn excuses voor de onduidelijke formulering van mijn formules, maar ik ben nog niet ingeweid in de edele taal va het LaTeX...

Hopelijk heb ik niks over het hoofd gezien, op een analysedag schud ik normaal niet snel lineaire algebrabewijsjes uit mijn mouw ^^.
Omhoog

Bericht 08-12-'06, 15:00

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: [Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Om wat met LaTeX te leren werken, klik rechtsboven op FAQ Formules.

Volgens mij is het de bedoeling dat je bewijst dat
\((u_1,u_2,...,u_m,w_1,w_2,...,w_n)\)


onafhankelijk is, en dat geldt alleen als
\(\sum_{i=1}^m \lambda_i u_i + \sum_{i=1}^n \mu_iw_i = 0\)
en dat geldt slechts als alle \(\lambda\)'s en \(\mu\)'s 0 zijn, mits de twee stelsels lineair onafhankelijk zijn.
Omhoog

Bericht 08-12-'06, 15:16

Mattia

Berichten: 39

Re: [Wiskunde]Lineaire deelruimten in vectorruimte

Rov schreef:Om wat met LaTeX te leren werken, klik rechtsboven op FAQ Formules.

Volgens mij is het de bedoeling dat je bewijst dat
\((u_1,u_2,...,u_m,w_1,w_2,...,w_n)\)
 

onafhankelijk is, en dat geldt alleen als
\(\sum_{i=1}^m \lambda_i u_i + \sum_{i=1}^n \mu_iw_i = 0\)
en dat geldt slechts als alle \(\lambda\)'s en \(\mu\)'s 0 zijn, mits de twee stelsels lineair onafhankelijk zijn.
Voor het vervolg verwijs ik naar mijn bewijsje boven.

Je kan een vector in U niet schrijven als combinatie van de lin onafh. vectoren in W en omgekeerd, dus moeten zijn zowel de \(\lambda\)'s en \(\mu\)'s 0
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”