Wiskundig bekeken: Maxwell

Boulemans

Kan er iemand me uitleggen hoe je de vergelijkingen van maxwell wiskundig kunt omvormen tot bv. de wet van Ohm of de regel van de kurkentrekker?

Het is iets dat me al een tijdje bezighoud, en nu ik me heb gestort op de microcursus speciale relativiteit wil ik er wel eens wat dieper op ingaan.

TD

Een natuurkundige wet afleiden uit de Maxwell-betrekkingen, dat vraag je misschien beter in het natuurkundeforum.

Van wat ik me nog vaag herinner, is het niet zo triviaal om de wet van Ohm af te leiden uit Maxwell.

Korte schets, na invoering van wat nieuwe grootheden en gebruik van Maxwell, kom je tot het volgende:

\(\vec j = \sigma \vec E\)

Hierin is j de elektrische stroomdichtheid, sigma de geleidbaarheid en E het elektrisch veld natuurlijk.

Het zou me nu te ver brengen om ook dit af te leiden, maar laten we dit even aannemen.

Bekijk deze wet in 1D met j en E constant en beschouw een geleider met lengte L en doorsnede A:

\(j = \sigma E \Leftrightarrow \underbrace {jA}_IL = \sigma A\underbrace {EL}_V \Leftrightarrow IL = \sigma AV \Leftrightarrow V = \frac{L}{{\sigma A}}I\)

Maar het elektrisch veld E over een afstand L, dat is precies de spanning V en de j door een oppervlak A, is de stroom I.

Als we nu nog rho definiëren als 1/sigma, de elektrische resistiviteit, dan definiëren we de elektrische weerstand:

\(R \equiv \frac{{L\rho }}{A}\)

Dit is niets anders dan de wet van Pouillet voor de weerstand van een geleider.

We vinden dus: V = RI, de wet van Ohm.

eendavid

klopt. merk op dat \(\vec{j}=\sigma\cdot\vec{E}\) niet algemeen geldig is, slechts in voldoende brave materialen. Bovendien volgt dit NIET uit de maxwellvergelijking. Voor het oplossen van maxwellvergelijkingen rond media heb je bijkomende constitutieve vergelijkingen nodig, waaronder een voor de geïnduceerde stroom.

het medium moet lineair, isotroop en onmiddellijk reagerend zijn, en dan klopt die wet. De meeste materialen voldoen hieraan in een voldoende regulier frequentiegebied, hoewel ingenieurs materialen die hier niet aan voldoen soms leuker vinden, omdat allerlei handige effecten kunnen optreden.

Maar goed, initieel wilde ik gewoon bevestigen dat wat TD! schreef klopt.

TD

Dat kan ik ook weer bevestigen

Vandaar dat mijn prof er toen bij zei dat het eigenlijk niet echt een "wet" genoemd kan worden, omdat het geen exact algemeen resultaat is, maar een benadering die geldt voor, zoals jij ze noemt, 'brave materialen', in bepaalde omstandigheden.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Wiskundig bekeken: Maxwell

Wiskundig bekeken: Maxwell

Re: Wiskundig bekeken: Maxwell

Re: Wiskundig bekeken: Maxwell

Re: Wiskundig bekeken: Maxwell