Zekerheid over het hebben van een sub.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 2.589

Zekerheid over het hebben van een sub.

Gegeven is volgende stelling:

Afbeelding

Ik begrijp deze stelling tot aan het rode onderlijnt. Kan ik nu het rood zwarte onderlijnt als volgt interpreteren.

x=element van de verzameling en is nu kleiner dan dus:
\(-x<Majo_x-Majo_y-Majo_{y_n} \)
om daar dan x uit te berkenen?

Groeten Dank bij voorbaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Je berekent daar geen x, x volgde per constructie uit je dalende rij intervallen. Je wil aantonen dat x het supremum is: dus x moet een majorant zijn en er mag geen grotere majorant zijn.

Eerst toonde je aan dat x een majorant was en het rode onderlijnde gedeelte herhaalt dat analoge argument, maar nu met een vooropgestelde kleinere majorant y. Uit die ongelijkheid (die geldt voor n voldoende groot) zou dan volgen dat a kleiner is dan of gelijk aan y (want we veronderstellen y majorant), maar ook y kleiner dan (de ondergrens) x_n. Dan zou dat interval geen a uit A meer bevatten, dat kan niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Dat begrijp ik maar hoe geraak je van
\(y_n-x_n=l/2^n<x-y\)
naar
\(y<x_n\)
Of nog welke algebraische manipulatie pas je toe. Ik begrijp het wel intinuitief maar kan het nog niet echt hard maken.

Groeten.

Berichten: 2.589

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Mss een raar vraag maar mag ik uit mijn constructie afleiden dat eigenlijk mijn x zowel een majorant als een element is van de verzameling?

Waarschijnlijk niet want dan was de rest van de bewijsvoering niet nodig maar volgens mij gebruikt men impliciet de eigenschap dat x een element is dan is dat x een majorant is en dan te kunnen besluiten dat we spreken over een sup.

Om dit dan kunnen hard te maken.

Ik zal straks mijn redenering hier omtrent verder uiteen zetten als mij iemand zou kunnen bevestigen dat intuïtief (dus mss niet 100precent wiskundig correct) je eigenlijk kan zeggen dat x een element is dan eens een majorant.

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Per constructie is y_n steeds een majorant, niet x. Je toont aan dat de gevonden x de (kleinste) majorant moet zijn, supremum dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Maar y_n en x_n zullen steeds korter samen komen te liggen. Om dan in de limiet gelijk te zijn. Want uiteindelijk volgt uit de constructie toch maar één enkele x waarden die moet dus het allerlaatste interval openspannen (ik denk wel dat je dat dan zo niet meer noemt) en dus is die zowel een majorant als een element.

Bij onderstelling. En dan bewijs ik dat het effectief een majorant is en dan bewijs ik dat het de kleinste moet zijn?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Intuïtief komen die inderdaad steeds dichter bij elkaar, maar dat er uiteindelijk maar één is die dan het supremum is, dat kan je niet zomaar stellen. Uit de volledigheid van de reële getallen volgt dat er nog een x in die geneste intervallen zit, maar je moet wel nog aantonen dat het a) een majorant is (de y_n's waren dat wel, maar voor x moet je dat nog tonen) en b) de kleinste majorant is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Oké dan nu mijn redenering doorvoeren dus:

We hebben per constructie die x gevonden en onderstellen dat het geen majorant is dan vinden we idd een element a zodat a=element van A en a>x dan hebben we
\(y_n-x_n=l/2^n<a-x\)
maar die twee x worden in de limiet toch gelijk of nog x moet ook een element zijn van onze startverzameling dus schrijf ik
\(y_n-x_n<a-x\)
en dus laat ik nu die x aan beiden kanten vallen
\(y_n<a\)
zodat er nu zou staan dat ons element a groter is dan
\(y_n\)
en dat kan niet net omwille van het feit dat
\(y_n\)
een majorant moet zijn.

Dan dat tweede indien we onderstellen dat er een majorant is kleiner dan x en noem die y dan hebben we dat
\(y_n-x_n<x-y\)
maar als n naar oneindig gaat dan zal die
\(y_n\)
vanuit onze constructie gelijk worden aan
\(x_n\)
dus herschrijf ik
\(-x<-y\)
en dus
\(x_n>y\)
dit kan dan weerom niet vanwege het feit dat een element niet groter kan zijn dan die majorant.

Op die manier begrijp ik dus die stelling. Klopt dit?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Bert F schreef:Dat begrijp ik maar hoe geraak je van
\(y_n-x_n=l/2^n<x-y\)
naar
\(y<x_n\)
Of nog welke algebraische manipulatie pas je toe. Ik begrijp het wel intinuitief maar kan het nog niet echt hard maken.
Propositie 1:
\(x_\nleq x\leq y_n\)
Gevolg:
\(x\leq y_n\)
\(x-x_n \leq y_n-x_n\)
Propositie 2:
\(y_n-x_n=l/2^n<x-y\)
Hieronder is de eerste ongelijkheidsteken (\(\leq\)) vanwege propositie 1 en de tweede ongelijkheidsteken (\(<\)) is vanwege propositie 2:
\(x-x_n \leq y_n-x_n < x-y\)
Verder:
\(x-x_n < x-y\)
\(-x_n < -y\)
\(x_n>y\)
Conclusie: y kan geen supremum zijn.

Berichten: 2.589

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Bedankt heb hem. Ik had al een redenering Maar je kan dus altijd via algebraïsche manipulatie tot iets komen. Of nog je kan altijd alles algebraïsch afdwingen?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Of nog je kan altijd alles algebraïsch afdwingen?
Wat bedoel je precies?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Zekerheid over het hebben van een sub.

Wel de constructie snap ik.

Een redenering kan ik er dan wel aanplakken als het ware maar men blijft hier formeel het effectief uitschrijven (met specifieke redenen) en daaruit dan zaken concluderen zo te zien.

Groeten.

Reageer