Bewijs ivm ophopingspunten

raintjah

Hoi,

ik moet volgende stelling bewijzen, en ik ondervind hier moeilijkheden mee omdat de stelling zo abstract is voor mij. Ik heb toch een poging gedaan...

Beschouw een niet-lege verzameling A . Toon aan dat een punt a een ophopingspunt is van A als en slechts als er in elk open interval dat a bevat, oneindig veel punten van A zitten.

Kies een a

A willekeurig.

Beschouw dit interval: ]a - delta.gif , a + delta.gif [. Voor een willekeurige rij x_n uit dit interval geldt dan: a - delta.gif < x_n < a + delta.gif . Dit is equivalent met: |x_n-a| < delta.gif

Voor een willekeurige delta.gif > 0 kunnen dus een n₀ vinden zo, dat wanneer n > n₀, x_n convergeert naar a.

Omdat x_n een rij is in A, die naar a convergeert, is a een ophopingspunt van A.

Q.E.D.

------------------------------------

NB: Dit is de definitie voor een ophopingspunt:

zij A ⁿ. We noemen a ⁿ een ophopingspunt van A als er een rij x_k in A{a} bestaat die naar a convergeert.

Alvast bedankt!

Groeten,

Stijn

phi hung

a is een ophopingspunt van A

\(\Rightarrow\)

in elk open interval dat a bevat, zitten oneindig veel punten van A[/b]

Bewijs uit het ongerijmde:

a is een ophopingspunt.

Stel dat er een open interval B bestaat dat a bevat, waar een eindig aantal punten van A in zitten:

\(B = (a-\delta, a+\epsilon)\)

Dan is er een punt p in B{a} die het dichste bij a ligt van alle punten uit B{a}, met een afstand d:=|a-p|.

Dan is er geen rij mogelijk in B{a} die naar a convergeert, want voor elk punt b in B{a} geldt |a-b| \(\geq \) d = |a-p|. Dan is a geen ophopingspunt.

Dus als a een ophopingspunt is, dan moeten in elk open interval dat a bevat, wel oneindig veel punten van A zitten.

in elk open interval dat a bevat, zitten oneindig veel punten van A

\(\Rightarrow\)

a is een ophopingspunt van A[/b]

Neem de open intervallen \(B_1, B_2, B_3, ...\) met \(B_k := (a-\frac{1}{k}, a+\frac{1}{k})\).

In elk interval \(B_k\) zit een punt \(p_k\) van A.

En \(p_k-a<1/k\).

De rij \(p_k\) convergeert dan naar a, want voor elke \(\epsilon>0\) geldt voor alle \(j>1/\epsilon:\)

\(p_j-a < 1/j < \epsilon\)

Dus a is een ophopingspunt van A.

raintjah

Het idee klopt volgens mij inderdaad, alleen de uitwerking op het einde, ivm die convergentie, klopt niet 100%, want je definiëert nergens en j nergens. Ook die afschatting is niet goed uitgewerkt, dat moet zijn:

Kies een j₀>1/epsilon.gif, dan geldt voor elke j > j₀

\(p_j-a < \frac{1}{1/j} = \epsilon\)

Het idee heeft me goed geholpen, bedankt phi hung!

phi hung

Ik schreef toch voor alle j > 1/eps, net als jij. Ik had misschien erbij kunnen zetten: j moet een element zijn uit de verzameling van natuurlijke getallen.

Jij kiest alleen nog een j0 erbij.

\(\frac{1}{1/j}\) is niet goed hoor. Bijvoorbeeld voor j=1000, is pj - a < \(\frac{1}{1/1000}\) = 1000; dat zegt ook niets.

raintjah

Waarom zou dat niets zeggen?

Dat zegt: De afstand van het punt pj tot a is kleiner dan 1000..

phi hung

Als je wilt aantonen dat iets naar a convergeert, dan moet je een rij vinden die vanaf een zekere moment minder dan eps afwijkt van a. Neem je voor eps 1000, dan zegt dat inderdaad dat het minder dan 1000 van a afwijkt. Dat zegt echter niets over convergentie. Pas als eps alsmaar kleiner (niet alsmaar groter!) wordt en er is steeds een element uit de rij die minder afwijkt dan eps, dan kan je iets zeggen over convergentie.

raintjah

Juist, kies jij een epsilon.gif willekeurig klein of groot. Dan kan ik een j₀ construeren: j₀ > 1/epsilon.gif , zo dat voor elke j > j₀ geldt dat de rij kleiner is dan epsilon.gif.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bewijs ivm ophopingspunten

Bewijs ivm ophopingspunten

Re: Bewijs ivm ophopingspunten

Re: Bewijs ivm ophopingspunten

Re: Bewijs ivm ophopingspunten

Re: Bewijs ivm ophopingspunten

Re: Bewijs ivm ophopingspunten

Re: Bewijs ivm ophopingspunten