Hallo,
Ik weet dat je bij het oplossen van stelsels drie operaties mag gebruiken:
E1: de i-de rij vermenigvuldigen met een constante verschillend van nul
E2: i-de rij ---> i-de rij + (j-de rij)*constante
E3: twee rijen omwisselen
Nu snap ik het bewijs niet van deze operaties. De E1 en E3 lijken evident dat dat mag maar E2 vind ik minder vanzelfsprekend. Kan iemand mij helpen?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Bewijs Gauss-eliminatie
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs Gauss-eliminatie
Elke oplossing moet voldoen aan elke vergelijking.
Laat me twee vergelijkingen in de onbekenden x en y voorstellen door A(x,y) en B(x,y).
Als een oplossing (x*,y*) voldoet aan A (dus A(x*,y*) = 0) en aan B (idem), dan is is
p.A(x,y)+q.B(x,y) een lineaire combinatie.
Deze heeft ook (x*,y*) als oplossing, want daarvoor geldt: p.A(x*,y*)+q.B(x*,y*) = p.0+q.0 = 0.
Laat me twee vergelijkingen in de onbekenden x en y voorstellen door A(x,y) en B(x,y).
Als een oplossing (x*,y*) voldoet aan A (dus A(x*,y*) = 0) en aan B (idem), dan is is
p.A(x,y)+q.B(x,y) een lineaire combinatie.
Deze heeft ook (x*,y*) als oplossing, want daarvoor geldt: p.A(x*,y*)+q.B(x*,y*) = p.0+q.0 = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 824
Re: Bewijs Gauss-eliminatie
Een écht bewijs kan ik je niet geven, maar wel een redenering:
Je weet dat in een stelsel alle onbekenden dezelfde waarde aannemen voor een bepaalde oplossing. Net zoals bij één enkele vergelijking, mag je beide leden vermenigvuldigen met een getal. dat verandert namelijk het aantal oplossing en die oplossingen zelf niet. Daarnaast mag je beide leden ook optellen met een bepaald getal:
ax +by +c = g <==> ax + by + c + 10 = g + 10
Wanneer je dus de E2 toepast, gebruik je een combinatie van de bovenstaande twee operaties.
Een voorbeeld:
ax + b = c
gx + d = e
Doe nu R2-2*R1, dat geeft: gx + d - (2ax + 2b) = e - 2c
Nu zie je tussen haakjes net hetzelfde staan als 2c, want ax+b=c , dus 2ax+2b=2c.
Je kan dus zeggen:
gx + d - 2c = e - 2c
Misschien is het nu iets duidelijker?
Groeten,
Stijn
Je weet dat in een stelsel alle onbekenden dezelfde waarde aannemen voor een bepaalde oplossing. Net zoals bij één enkele vergelijking, mag je beide leden vermenigvuldigen met een getal. dat verandert namelijk het aantal oplossing en die oplossingen zelf niet. Daarnaast mag je beide leden ook optellen met een bepaald getal:
ax +by +c = g <==> ax + by + c + 10 = g + 10
Wanneer je dus de E2 toepast, gebruik je een combinatie van de bovenstaande twee operaties.
Een voorbeeld:
ax + b = c
gx + d = e
Doe nu R2-2*R1, dat geeft: gx + d - (2ax + 2b) = e - 2c
Nu zie je tussen haakjes net hetzelfde staan als 2c, want ax+b=c , dus 2ax+2b=2c.
Je kan dus zeggen:
gx + d - 2c = e - 2c
Misschien is het nu iets duidelijker?
Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 2.242
Re: Bewijs Gauss-eliminatie
Ik ontcijfer uit mijn nota's iets in de aard van:
Een stelsel met als i-de en j-de vergelijking:
Een stelsel met als i-de en j-de vergelijking:
\( \left{ \begin{array}{l}a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + ... + a_px_p = a_{p+1} b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + ... + b_px_p = b_{p+1} \end{array}\)
Passen we dan "E2" toe met een willekeurige \( \lambda\)\( \left{ \begin{array}{l}(a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_px_p + \lambda(b_1x_1 + b_2x_2 + ... + b_px_p) = a_{p+1} + \lambda b_{p+1} b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + ... + b_px_p = b_{p+1} \end{array}\)
Stel nu dat \(( \alpha_1, \alpha_p, ... , \alpha_p)\)
een oplossing is voor vergelijking 1.\(\left{ \begin{array}{l}a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + a_3\alpha_3 + ... + a_p\alpha_p = a_{p+1} \lambda(b_1\alpha_1 + b_2\alpha_2 + b_3\alpha_3 + ... + b_p\alpha_p )= \lambda b_{p+1} \end{array}\)
Tellen we vergelijking 1 en 2 bij elkaar op.\(\left{ \begin{array}{l}(a_1 + b_1 \lambda) x_1 + ... + (a_p + b_p \lambda)x_p = a_{p+1} \lambda b_1 \alpha_1 + ... + b_p \alpha_p = b_{p+1}\end{array}\)
En daaruit volgt dat \(( \alpha_1, \alpha_p, ... , \alpha_p)\)
ook een oplossing is voor vergelijking 2.-
- Berichten: 2.242
Re: Bewijs Gauss-eliminatie
De eerste regel van het stelsel is vgl 1, en de tweede vgl 2 
.
.