Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Pongping

Hallo,

In mijn boek Lineaire Algebra staat er een bewijs over de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz maar ze maken heel weinig tussenstappen dus ik kom er maar niet aan uit.

Ik zal misschien eerst even herhalen wat de stelling inhoudt:

Voor elk tweetal vectoren x,y in een vectorruimte V geldt:

\(<x,y>²\leq<x,x><y,y>\)

waarbij het gelijkteken optreedt dan als en slechts als x en y lineair afhankelijk zijn.[/i]

Hier is het bewijs dat ze geven:

Als een van beide vectoren de nulvector is, is de stelling triviaal. Stel dus dat beide ongelijk aan de nulvector zijn (dit snap ik). Nu komt het.

Noem

\(v=<y,y>x-<x,y>y\)

Dan is

\(0\leq<v,v>=<y,y>²<x,x>-2<x,y>²<y,y>+<x,y>²<y,y>\)

\(=<y,y>(<y,y><x,x>-<x,y>²)\)

Omdat we verondersteld hebben dat

\(y\neq0\)

is dit equivalent met

\(0\leq<y,y><x,x>-<x,y>²\)

zoals bewezen moest worden. Het gelijkteken treedt op dan en slechts dan als v=0, en dit is ermee equivalent dat x en y lineair afhankelijk zijn.[/i]

Ik snap niet hoe ze van

\(<v,v>\)

naar die andere uitdrukking komen. Ik vermoed met substitutie, maar ik heb het geprobeerd maar ik kom er niet aan uit. Ik kom aan uitdrukkingen zoals

\(<<y,y>x, <x,y>x>\)

enzo, dus met inproducten in het inproduct zelf.

Kan iemand het mij uitleggen?

bvb

TD

Uit het feit dat het inproduct van v met zichzelf niet negatief is, volgt:

\(0 le \langle v,v \rangle = \langle \langle y,y \rangle x - \langle x,y \rangle y , \langle y,y \rangle x - \langle x,y \rangle y \rangle\)

Dan kan je dit uitwerken omdat het inproduct bilineair is.

Ik doe het even algemeen met een lineaire combinatie:

\(\begin{array}{*{20}l} {\left\langle {a\vec x - b\vec y,a\vec x - b\vec y} \right\rangle } & { = a\left\langle {\vec x,a\vec x - b\vec y} \right\rangle - b\left\langle {\vec y,a\vec x - b\vec y} \right\rangle } {} & { = a\left( {a\left\langle {\vec x,\vec x} \right\rangle - b\left\langle {\vec x,\vec y} \right\rangle } \right) - b\left( {a\left\langle {\vec y,\vec x} \right\rangle - b\left\langle {\vec y,\vec y} \right\rangle } \right)} {} & { = a^2 \left\langle {\vec x,\vec x} \right\rangle - ab\left\langle {\vec x,\vec y} \right\rangle - ab\left\langle {\vec y,\vec x} \right\rangle + b^2 \left\langle {\vec y,\vec y} \right\rangle } {} & { = a^2 \left\langle {\vec x,\vec x} \right\rangle - 2ab\left\langle {\vec x,\vec y} \right\rangle + b^2 \left\langle {\vec y,\vec y} \right\rangle } \end{array}\)

Alleen heb jij niet a en b, maar <y,y> en <x,y>.

Pongping

Ah, nu zie ik het

. Ik had over het hoofd gezien dat <x,x> en <y,y> gewoon getallen waren, dus dat je die buiten de haakjes kon plaatsen. Dank je wel!

TD

Het is misschien ook verwarrend, met al die inproducten, maar een inproduct geeft natuurlijk een scalair

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Re: Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Re: Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Re: Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz