[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 110
[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Ik ben een tentamen aan het leren en loop tegen het volgende vraagstuk op:
Neem c:[a,b] in R^3 een oneindig differentieerbaar pad. c'(t) is voor elke t ongelijk aan 0. De vector c'(t) / Norm(c'(t)) = T(t) is de raaklijn van c aan c(t). Omdat de norm van T(t) = 1, wordt T de eenheidsraaklijn genoemd van c(t).
De vraag die hierbij hoort is: Laat zien dat T'(t)*T(t) = 0 en schrijf een formule voor T'(t) uitgedrukt in c.
De hint die gegeven is: Differentiatie T(t)*T(t) = 1
Ik begrijp deze vraag niet. Wat is de bedoeling en hoe los je zoiets netjes op...
Neem c:[a,b] in R^3 een oneindig differentieerbaar pad. c'(t) is voor elke t ongelijk aan 0. De vector c'(t) / Norm(c'(t)) = T(t) is de raaklijn van c aan c(t). Omdat de norm van T(t) = 1, wordt T de eenheidsraaklijn genoemd van c(t).
De vraag die hierbij hoort is: Laat zien dat T'(t)*T(t) = 0 en schrijf een formule voor T'(t) uitgedrukt in c.
De hint die gegeven is: Differentiatie T(t)*T(t) = 1
Ik begrijp deze vraag niet. Wat is de bedoeling en hoe los je zoiets netjes op...
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Dus het accent is de afgeleide naar t? Als T(t) = c'(t)/|c'(t)|, dan vind je T'(t) door T(t) nogmaals af te leiden naar t.
Voor T'(t)*T(t) heb je:
Voor T'(t)*T(t) heb je:
\(T'\left( t \right) \cdot T\left( t \right) = \left( {\frac{d}{{dt}}T\left( t \right)} \right) \cdot T\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {T\left( t \right) \cdot T\left( t \right)} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 0\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 110
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Oke, bedankt!
Als we T'(t) uit moeten drukken in c krijgen we dan het volgende?
norm(c'(t)) * c''(t) - c'(t) * 0
gedeeld door
(norm(c'(t)))^2
De afgeleide van een norm is toch altijd 0 en verder kunnen we de NAT-TAN/N^2 regel toepassen?
Als we T'(t) uit moeten drukken in c krijgen we dan het volgende?
norm(c'(t)) * c''(t) - c'(t) * 0
gedeeld door
(norm(c'(t)))^2
De afgeleide van een norm is toch altijd 0 en verder kunnen we de NAT-TAN/N^2 regel toepassen?
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Je past de quotiëntregel correct toe, maar die is niet nodig.
De noemer hangt immers niet meer af van t, want als je de norm neemt krijg je een getal.
Die factor kan je dus voor de afgeleide zetten en dan vind je direct c''(t)/|c'(t)|.
De noemer hangt immers niet meer af van t, want als je de norm neemt krijg je een getal.
Die factor kan je dus voor de afgeleide zetten en dan vind je direct c''(t)/|c'(t)|.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 110
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Ofwel korter geschreven:
c''(t) gedeeld door norm(c'(t))
c''(t) gedeeld door norm(c'(t))
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Dat klopt, maar ik begrijp niet hoe dat korter is dan c''(t)/|c'(t)|, zoals ik al gaf
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 110
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Oke, je was me iets voor.
Aanvullend nog iets:
Als T'(t) ongelijk is aan 0 dan N(t) = T'(t)/ Norm( T'(t)) staat loodrecht op T(t).
De derde eenheidsvector, d.w.z. de vector die zowel loodrecht staat op T en N, definieren we als B = TxN.
Hoe kun je dan aantonen dat
B' * B = 0, B' * T = 0 en dat B' een scalaire veelvoud is van N?
(alle afleidingen zijn naar t)
Aanvullend nog iets:
Als T'(t) ongelijk is aan 0 dan N(t) = T'(t)/ Norm( T'(t)) staat loodrecht op T(t).
De derde eenheidsvector, d.w.z. de vector die zowel loodrecht staat op T en N, definieren we als B = TxN.
Hoe kun je dan aantonen dat
B' * B = 0, B' * T = 0 en dat B' een scalaire veelvoud is van N?
(alle afleidingen zijn naar t)
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
T (tangent), N (normal) en B (binormal) zijn allen genormaliseerd, dus voor B'.B geldt weer:
\(B' \cdot B = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 1\)
Voor B'.T halen we de afgeleide buiten, maar B staat per definitie loodrecht op T, dus:\(B' \cdot T = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot T = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot T} \right) = \frac{d}{{dt}}0 = 0\)
En dan zou B' nog een scalair veelvoud van N moeten zijn?"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 110
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
\(B' \cdot B = \left( {\frac{d}{{dt}}B} \right) \cdot B = \frac{d}{{dt}}\left( {B \cdot B} \right) = \frac{d}{{dt}}1 = 0\)
Dat lijkt me een betere oplossing i.p.v. 1. En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0
Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Wat zou best kunnen?TD! schreef:Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0
Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
De laatste opgave, B' een scalair veelvoud van N. Ik zei dat als reactie op:
En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Ik zie ook nog staan: N is een "principal normal vector". Wat is dat precies? Kunnen we daaruit halen dat
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N?- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
Die 'principal' kan je daar zetten om expliciet het verschil aan te duiden, maar dat is slechts naamgeving.
Gewoonlijk noemen we N gewoon de normaalvector en is B de binormale.
Gewoonlijk noemen we N gewoon de normaalvector en is B de binormale.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 175
Re: [wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren
En nog begrijp ik niet, waarom
\( \left{\frac{d}{{dt}}B}\)
een scalaire veelvoud is van N