Moderators: dirkwb, Xilvo
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de
Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 53
Hallo,
Voor het examen wiskunde moeten we onder andere lijnintegralen kunnen berekenen aan de hand van volgende gegevens:
vb: f(x,y)= xye
x langs : x= cos t en y= sin t, 0[kleinergelijk] t
/2
Nu is mijn vraag, hoe begin ik hieraan? Wegens een tekort aan tijd, hebben we dergelijke oefeningen niet gemaakt.
Alvast bedankt voor het lezen!
Bericht
05-01-'07, 17:39
TD
-
- Berichten: 24.578
Als r(t) de baan beschrijft, dus hier r(t) = (cos(t),sin(t)), dan geldt:
\(\int\limits_C {fds} = \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {f\left( {r\left( t \right)} \right)\left| {r'\left( t \right)} \right|dt} \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Laurence schreef:
f(x,y)= xye^x langs : x= cos t en y= sin t, 0
\(\leq t \leq\frac{\pi}{2}\)
Een lijnintegraal geeft altijd een constante als uitkomst zoals ik tot nu denk en de jouwe neemt ge over de eenheidscirkel van 0 tot pi/2.
Een lijnintegraal in het vlak ziet er zo uit:
\(\int_C\vec{A}. d\vec{r}=\int_C A_x. dx+ A_y. dy\)
Je opgave kan nooit zoiets opleveren omdat je functie een impliciete scalaire functie is, denk ik toch.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Bericht
05-01-'07, 19:59
TD
-
- Berichten: 24.578
Het integreren is geen probleem hoor, ik vind als uitkomst 1.
Je kan f(x,y) schrijven in functie van t met de gegeven formules:
\(xye^x \to \sin t\cos te^{\cos t} \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Ja oke, maar dan zal bij zijn functie toch ergens een eenheidsvector moeten staan, anders kunnen we geen scalaire krijgen.Die mis ik.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Bericht
05-01-'07, 20:16
TD
-
- Berichten: 24.578
Waarom is dat nodig? Door het inproduct zijn de vectoren verdwenen, we integreren nu een scalaire functie naar t.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Hij maakt toch geen inproduct, hij vermenigvuldigt een scalaire impiciete functie met
\(d\vec{r}=dx\vec{e}_x+dy\vec{e}_y\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Bericht
05-01-'07, 20:57
TD
-
- Berichten: 24.578
Klopt, even terugspoelen: in het algemeen maak je het inproduct maar hier herleidt zich dat tot een gewoon product:
\(\int\limits_{t_1 }^{t_2 } {\vec F\left( {\vec r\left( t \right)} \right) \cdot {\vec r}'\left( t \right)dt} \to \int\limits_{t_1 }^{t_2 } {f\left( {\vec r\left( t \right)} \right)\left| {\vec r'\left( t \right)} \right|dt} \)
Maar in het rechterlid (ons geval) moet geen eenheidsvector staan hoor, dat is een gewone integraal in t geworden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.330
Alles oke
\(ds=\vert d \vec{r}\vert\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Bericht
05-01-'07, 21:15
TD
-
- Berichten: 24.578
Oké, dan zullen we nu even wachten op Laurence, zien of het lukt om het antwoord te vinden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 53
Wij moeten aan de hand van volgende formules een oplossing bekomen:
In een vlak:
Integraal van t1 tot t2
(x')² + (y')² dt
In een 3D-ruimte:
Integraal van t1 tot t2 f(t)
(x')² + (y')² + (z')² dt
Ik weet niet hoe ik met de gegevens en met deze formules dit moet gaan berekenen.
ps Bedant voor de snelle reacties!
Bericht
06-01-'07, 17:22
TD
-
- Berichten: 24.578
In de formule die ik gaf staat |r'(t)|, dat is precies die vierkantswortel uit de som van de (afgeleide) componenten.
Je vergeet in je eerste formule (2D) wel de functie f(t) nog.
Als x = cos(t) en y = sin(t), wat is dan \(\sqrt {x'\left( t \right)^2 + y'\left( t \right)^2 } \)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
