[analyse,cas] integraal

jhnbk

dit was de opgave

\(\int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}\)

via goniometrische substitutie kom ik tot deze oplossing

\(\frac{1}{2} \ln|\sqrt{1+4* x^{2}}+2x|=\frac{1}{2} \argsh(2x)\)

de computer vind echter dit

\(\frac{-1}{2} \ln|\sqrt{1+4* x^{2}}-2x|\)

, hoe zijn deze verwant?

TD

Het verband is precies:

\(\sinh ^{ - 1} z = \ln \left( {z + \sqrt {1 + z^2 } } \right)\)

Dit kan je vinden met behulp van de definitie van sinh(z):

\(\sinh z = \frac{{e^z - e^{ - z} }}{2} \to \frac{{e^y - e^{ - y} }}{2} = z\)

Los de laatste vergelijking op naar y.

jhnbk

sorry, ik heb het slecht uitgelegd

het ging mij echter om het verband tussen de oplossing van de computer en mijn oplossing, dus dit

\(\frac{1}{2} \ln|\sqrt{1+4* x^{2}}+2x|=\frac{-1}{2} \ln|\sqrt{1+4* x^{2}}-2x| \)

TD

Dat minteken kan via eigenschappen van logaritmen als exponent naar binnen komen. Ga na dat:

\(\left( {\sqrt {1 + 4x^2 } - 2x} \right)^{ - 1} = \sqrt {1 + 4x^2 } + 2x\)

jhnbk

inderdaad door de noemer wortelvrij te maken, dat had ik niet gezien, thx

Morzon

\(\int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-(i2x)^2}}=\frac{1}{2i} \arcsin(2ix)\)

hoe verder? (Ik herinner me dat ik iets heb gelezen met complexe ln ofzo, maar kan het niet terugvinden)

TD

Je bent toch klaar? Je kan eventueel op gelijkaardige manier als hierboven aantonen dat:

\(\sin ^{ - 1} z = - i\ln \left( {iz + \sqrt {1 - z^2 } } \right)\)

Of de relatie:

\(\sinh ^{ - 1} z = i\sin ^{ - 1} \left( { - iz} \right)\)

Wetenschapsforum